Question

【題目】如圖，△BCD內接于⊙O，直徑AB經過弦CD的中點M，AE交BC的延長線于點E，連接AC，∠EAC＝∠ABD＝30°．

（1）求證：△BCD是等邊三角形；

（2）求證：AE是⊙O的切線；

（3）若CE＝2，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）⊙O的半徑為2．

【解析】

（1）由AB是⊙O的直徑，M是CD的中點知AB⊥CD，BD＝BC，結合∠ABD＝∠ABC＝30°，即∠CBD＝60°即可得證；

（2）先證AE∥CD，由AB⊥CD可得AE⊥AB，據此即可得證；

（3）由AB是直徑可得∠ACB＝∠ACE＝90°，由∠EAC＝30°可得AE＝2CE＝4，∠ABE＝30°可得BE＝2AE＝8，根據勾股定理可得直徑AB的長，從而得出答案．

證明：（1）∵AB是⊙O的直徑，M是CD的中點，

∴AB⊥CD，

∴BD＝BC，

∴∠ABD＝∠ABC＝30°，即∠CBD＝60°，

∴△BCD是等邊三角形；

（2）∵∠EAC＝∠ABD，∠ABD＝∠ACD，

∴∠EAC＝∠ACD，

∴AE∥CD，

由（1）知AB⊥CD，

∴AE⊥AB，

∵點A在⊙O上，

∴AE是⊙O的切線；

（3）∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ACB＝90°，

∴∠ACE＝90°，

∵∠EAC＝30°，

∴AE＝2CE＝4，

在Rt△EAB中，∠ABE＝30°，

∴BE＝2AE＝8，

∴AB＝＝＝4，

∴⊙O的半徑為2．