Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標系中，直線與坐標軸交于A，B兩點，以AB為斜邊在第一象限內作等腰直角三角形ABC，點C為直角頂點，連接OC.

(1)直接寫出= ;

(2)請你過點C作CE⊥y軸于E點，試探究OB+OA與CE的數量關系，并證明你的結論；

(3)若點M為AB的中點，點N為OC的中點，求MN的值；

(4)如圖2，將線段AB繞點B沿順時針方向旋轉至BD，且OD⊥AD，延長DO交直線于點P，求點P的坐標.

Answer 1

【答案】（1） 4；（2）OB+OA=2CE；見解析；（3）MN=；（4）P（，）．

【解析】

(1)令x=0，求出y的值，令y=0，求出x的值，即可得出OA，OB的長，根據三角形面積公式即可求出結果；

（2）過點C作CF⊥x軸，垂足為點F，易證△CEB≌△CFA與四邊形CEOF是正方形，從而得AF=BE，CE=BE=OF，由OB=OE-BE，AO=OF+AF可得結論；

（3）求出C點坐標，利用中點坐標公式求出點M，N的坐標，進而用兩點間的距離公式求解即可得出結論；

（4）先判斷出點B是AQ的中點，進而求出Q的坐標，即可求出DP的解析式，聯立成方程組求解即可得出結論．

（1）∵直線y=-x+2交坐標軸于A，B兩點，

令x=0，則y=2，令y=0，則x=4,

∴BO=2，AO=4，

∴=；

（2）作CF⊥x軸于F，作CE⊥y軸于E，如圖，

∴∠BFC=∠AEC=90°

∵∠EOF=90°，

∴四邊形OECF是矩形，

∴CF=OE，CE=OF，∠ECF=90°，

∵∠ACB=90°

∴∠BCF=∠ACE，

∵BC=AC，

∴△CFB≌△CEA，

∴CF=CE，AF=BE，

∴四邊形OECF是正方形，

∴OE=OF=CE=CF，

∴OB=OE-BE，OA=OF+AF，

∴OB+OA=OE+OF=2CE；

（3）由（2）得CE=3，

∴OE=3，

∴OF=3，

∴C（3，3）；

∵M是線段AB的中點，而A（4，0），B（0，2），

∴M（2，1），

同理：N（，），

∴MN=；

（3）如圖②延長AB，DP相交于Q，

由旋轉知，BD=AB，

∴∠BAD=∠BDA，

∵AD⊥DP，

∴∠ADP=90°，

∴∠BDA+∠BDQ=90°，∠BAD+∠AQD=90°，

∴∠AQD=∠BDQ，∴BD=BQ，

∴BQ=AB，

∴點B是AQ的中點，

∵A（4，0），B（0，2），

∴Q（-4，4），

∴直線DP的解析式為y=-x①，

∵直線DO交直線y=x+5②于P點，

聯立①②解得，x=-，y=，

∴P（-，）．