Question

【題目】點P是菱形ABCD的對角線AC上的一個動點，已知AB=1，∠ADC=120°, 點M，N分別是AB，BC邊上的中點，則△MPN的周長最小值是______.

Answer 1

【答案】.

【解析】

先作點M關于AC的對稱點M′，連接M′N交AC于P，此時MP+NP有最小值．然后證明四邊形ABNM′為平行四邊形，即可求出MP+NP=M′N=AB=1，再求出MN的長即可求出答案．

如圖，作點M關于AC的對稱點M′，連接M′N交AC于P，此時MP+NP有最小值，最小值為M′N的長．

∵菱形ABCD關于AC對稱，M是AB邊上的中點，

∴M′是AD的中點，

又∵N是BC邊上的中點，

∴AM′∥BN，AM′=BN，

∴四邊形ABNM′是平行四邊形，

∴M′N=AB=1，

∴MP+NP=M′N=1，即MP+NP的最小值為1，

連結MN，過點B作BE⊥MN，垂足為點E，

∴ME=MN，

在Rt△MBE中，，BM=

∴ME=，

∴MN=

∴△MPN的周長最小值是+1.

故答案為：+1.