Question

【題目】如圖，在邊長為8的正方形ABCD中，點O為AD上一動點（4＜OA＜8），以O為圓心，OA的長為半徑的圓交邊CD于點M，連接OM，過點M作⊙O的切線交邊BC于N．

（1）圖中是否存在與△ODM相似的三角形，若存在，請找出并給予證明；

（2）設DM=x，OA=R，求R關于x的函數關系式；

（3）在動點O逐漸向點D運動（OA逐漸增大）的過程中，△CMN的周長如何變化？說明理由．

Answer 1

【答案】（1）存在△MCN與△ODM相似，證明見矩形；

（2）R=；

（3）△CMN的周長是一個定值，理由見解析.

【解析】

試題（1）根據切線的性質得出∠OMN=90，從而證得∠OMD=∠MNC；則△ODM∽△MCN；

（2）由DM=x，設OA=OM=R；則得出OD，由勾股定理得R與x的關系；

（3）可分為兩種解法得出答案．由△ODM∽△MCN，得，用含x的式子表示出CN，MN，從而得出△CMN的周長是一個定值．

試題解析：（1）存在△MCN與△ODM相似，證明如下：

∵MN切⊙O于點M，∴∠OMN=90°，∵∠OMD+∠CMN=90°，∠CMN+∠CNM=90°，∴∠OMD=∠MNC，又∵∠D=∠C=90°，∴△ODM∽△MCN．

（2）在Rt△ODM中，DM=x，設OA=OM=R，∴OD=AD﹣OA=8﹣R，由勾股定理得：（8﹣R）2+x2=R2，

∴64﹣16R+R2+x2=R2，∴R=．

（3）∵CM=CD﹣DM=8﹣x，OD=8﹣R=8﹣，且有△ODM∽△MCN，∴，∴代入得到：CN=．

同理，∴代入得到：MN=，∴△CMN的周長=CM+CN+MN=（8﹣x）++=（8﹣x）+（x+8）=16，

在點O的運動過程中，△CMN的周長始終為16，是一個定值．