Question

【題目】等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，點A、點B分別是y軸、x軸上的兩個動點，點C在第三象限，直角邊AC交x軸于點D，斜邊BC交y軸于點E．

（1）若A（0，1），B（2，0），畫出圖形并求C點的坐標；

（2）若點D恰為AC中點時，連接DE，畫出圖形，判斷∠ADB和∠CDE大小關系，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）作圖見解析，C（﹣1，﹣1）；（2）∠ADB=∠CDE．理由見解析．

【解析】

（1）過點C作CF⊥y軸于點F通過證明△ACF≌△BAO得CF=OA=1，AF=OB=2，求得OF的值，就可以求出C的坐標；

（2）過點C作CG⊥AC交y軸于點G，先證明△ACG≌△BAD就可以得出CG=AD=CD，∠DCE=∠GCE=45°，再證明△DCE≌△GCE就可以得出結論．

解：（1）過點C作CF⊥y軸于點F，如圖1所示：

，

∴∠AFC=90°，

∴∠CAF+∠ACF=90°．

∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，

∴AC=AB，∠CAF+∠BAO=90°，∠AFC=∠BAC，

∴∠ACF=∠BAO．

在△ACF和△BAO中，

∵，

∴△ACF≌△BAO（AAS），

∴CF=OA=1，AF=OB=2，

∴OF=1，

∴C（﹣1，﹣1）；

（2）∠ADB=∠CDE．理由如下：

證明：過點C作CG⊥AC交y軸于點G，如圖2所示：

，

∴∠ACG=∠BAC=90°，

∴∠AGC+∠GAC=90°．

∵∠CAG+∠BAO=90°，

∴∠AGC=∠BAO．

∵∠ADO+∠DAO=90°，∠DAO+∠BAO=90°，

∴∠ADO=∠BAO，

∴∠AGC=∠ADO．

在△ACG和△BAD中，

，

∴△ACG≌△BAD（AAS），

∴CG=AD=CD．

∵∠ACB=∠ABC=45°，

∴∠DCE=∠GCE=45°，

在△DCE和△GCE中，

，

∴△DCE≌△GCE（SAS），

∴∠CDE=∠CGE，

∴∠ADB=∠CDE．