Question

【題目】課本中有一道作業題：有一塊三角形余料ABC，它的邊BC=120mm，高AD=80mm．要把它加工成正方形零件，使正方形的一邊在BC上，其余兩個頂點分別在AB，AC上．

(1)加工成的正方形零件的邊長是多少mm？

(2)如果原題中要加工的零件是一個矩形，且此矩形是由兩個并排放置的正方形所組成，如圖1，此時，這個矩形零件的兩條邊長又分別為多少？請你計算．

(3)如果原題中所要加工的零件只是一個矩形，如圖2，這樣，此矩形零件的兩條邊長就不能確定，但這個矩形面積有最大值，求達到這個最大值時矩形零件的兩條邊長．

Answer 1

【答案】加工成的正方形零件的邊長是；這個矩形零件的兩條邊長分別為，；的最大值為，此時，．

【解析】

（1）設正方形的邊長為xmm，則PN＝PQ＝ED＝x，AE＝ADED＝80x，通過證明△APN∽△ABC，利用相似比可得到，然后根據比例性質求出x即可；

（2）由于矩形是由兩個并排放置的正方形所組成，則可設PQ＝x，則PN＝2x，AE＝80x，然后與（1）的方法一樣求解；

（3）設PN＝x，用PQ表示出AE的長度，然后根據相似三角形對應高的比等于相似比列出比例式并用x表示出PN，然后根據矩形的面積公式列式計算，再根據二次函數的最值問題解答．

（1）如圖，

設正方形的邊長為，則，

∴，

∵，

∴，

∴，即，

解得．

∴加工成的正方形零件的邊長是；

如圖，

設，則，，

∵，

∴，

∴，即，

解得：，

∴，

∴這個矩形零件的兩條邊長分別為，；

如圖，

設，矩形的面積為，

由條件可得，

∴，

即，

解得：．

則，

故的最大值為，此時，．