Question

【題目】已知關于x的一元二次方程x2+（k﹣5）x+1﹣k=0，其中k為常數．
（1）求證：無論k為何值，方程總有兩個不相等實數根；
（2）已知函數y=x2+（k﹣5）x+1﹣k的圖象不經過第三象限，求k的取值范圍；
（3）若原方程的一個根大于3，另一個根小于3，求k的最大整數值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵△=（k﹣5）2﹣4（1﹣k）=k2﹣6k+21=（k﹣3）2+12＞0，

∴無論k為何值，方程總有兩個不相等實數根

（2）解：∵二次函數y=x2+（k﹣5）x+1﹣k的圖象不經過第三象限，

∵二次項系數a=1，

∴拋物線開口方向向上，

∵△=（k﹣3）2+12＞0，

∴拋物線與x軸有兩個交點，

設拋物線與x軸的交點的橫坐標分別為x1，x2，

∴x1+x2=5﹣k＞0，x1x2=1﹣k＞0，

解得k＜1，

即k的取值范圍是k＜1

（3）解：設方程的兩個根分別是x1，x2，

根據題意，得（x1﹣3）（x2﹣3）＜0，

即x1x2﹣3（x1+x2）+9＜0，

又x1+x2=5﹣k，x1x2=1﹣k，

代入得，1﹣k﹣3（5﹣k）+9＜0，

解得k＜ ．

則k的最大整數值為2

【解析】（1）求出方程的判別式△的值，利用配方法得出△＞0，根據判別式的意義即可證明；（2）由于二次函數y=x2+（k﹣5）x+1﹣k的圖象不經過第三象限，又△=（k﹣5）2﹣4（1﹣k）=（k﹣3）2+12＞0，所以拋物線的頂點在x軸的下方經過一、二、四象限，根據二次項系數知道拋物線開口向上，由此可以得出關于k的不等式組，解不等式組即可求解；（3）設方程的兩個根分別是x1 ， x2 ， 根據題意得（x1﹣3）（x2﹣3）＜0，根據一元二次方程根與系數的關系求得k的取值范圍，再進一步求出k的最大整數值．