Question

【題目】在正方形 ABCD 中，點 P 在射線 AB 上，連結 PC，PD，M，N 分別為 AB，PC 中點，連結 MN 交 PD 于點 Q．

（1）如圖 1，當點 P 與點 B 重合時，求∠QMB 的度數；

（2）當點 P 在線段 AB 的延長線上時.

①依題意補全圖2

②小聰通過觀察、實驗、提出猜想：在點P運動過程中，始終有QP=QM.小聰把這個猜想與同學們進行交流，通過討論，形成了證明該猜想的幾種想法：

想法1延長BA到點 E，使AE=PB .要證QP=QM，只需證△PDA≌△ECB.

想法2：取PD 中點E ，連結NE,EA. 要證QP=QM只需證四邊形NEAM 是平行四邊形.

想 法3：過N 作 NE∥CB 交PB 于點 E ，要證QP=QM ，只要證明△NEM∽△DAP.

……

請你參考上面的想法，幫助小聰證明QP=QM. (一種方法即可)

Answer 1

【答案】（1）∠QMB 的度數為45°；

（2）①補全圖2見解析；②證明見解析.

【解析】試題分析：（1）連接AC，由MN分別是AB、BC的中點可得，MN是 的中位線，即可得到∠QMB 的度數為45°；（2）①根據題意畫出圖形；②根據每種方法提示解題即可；

試題解析：

(1) 連結AC,如圖所示：

∵四邊形ABCD是正方形

∴∠D AB=90°

∴∠C AB=45°

點 M,N 是 AB,BC 中點

∴MN∥AC

∴∠NMB=∠C AB=45°

∴∠QMB=∠C AB=45°

(2)① 如圖所示：

②想法1：延長BA 到點E，使AE=PB

∴BE=AP

∵正方形ABCD

∴∠PAD=∠EBC=90° AD=BC

∴△PDA≌△ECB

∠DPA=∠E

又點M 是AB 中點,AM=MB, 又AE=BP

∴AM+EA=MB+BP

∴EM=MP

∴M是EP中點

∴MN是△EPC的中位線

∴MN∥EC

∴∠E=∠NMP

∴∠NMP=∠DPA即∠QMP=∠QPM

∴QM=QP

想法2：取PD 中點E，連結NE,EA

∵E,N分別是PD,PC

∴EN∥CD,EN=CD

又CD∥AB,CD=AB

∴EN∥AB且EN=AB

∴EN=AM

∴四邊形是NEAM是平行四邊形

∴EA∥MN

∴∠EAB=∠NMB

又點E 是Rt△DAP 斜邊DP中點

∴AE=EP

∴∠EAB=∠EPA

∴∠NMB=∠EPA

∴QM=QP

想法3:過N 作 NE∥CB 交PB 于點 E ，

∵CB⊥AB,

∴NE⊥AP

又∵N 是 PC中點

∴NE 是△CBP的中位線

∴NE=BC

又點E是B P中點

∴BE=BP,MB=AB

∴ME=AP

∴

∠NEM=∠DAP=90°

∴△NEM∽△DAP

∴∠EMN=∠APD

∴QM=QP