Question

已知：三角形ABC三邊a、b、c滿足a²=b²+c²-bc，b²=a²+c²-ac，c²=a²+b²-ab，
（1）求證：△ABC是等邊三角形；
（2）若等邊△ABC的面積為4，其內心為O₁，連接BO₁，以BO₁為邊作等邊△BO₁B₁，記等邊△BO₁B₁的面積S₁，取△BO₁B₁的內心O₂，連BO₂，以BO₂為邊作等邊△BO₂B₂，記等邊△BO₂B₂的面積為S₂，依次作等邊三角形…記△BO₂₀₁₀B₂₀₁₀的面積為S₂₀₁₀，求S₁、S₂及S₂₀₁₀的值．

Answer 1

分析：（1）要證明△ABC為等邊三角形，證明三邊相等是解答本題的關鍵，將已知三式相加，然后化簡變形，運用因式分解化成完全平方式，根據非負數和為零定理就可以求出a=b=c，從而證明結論．
（2）延長BO₁交AC于D，根據內心和等邊三角形的性質可以用字母表示出△ABC的面積及BO₁的長度，同樣地方法可以表示出△BB₁O₁的面積、△BB₂O₂的面積，依此類推可以表示出△BB_nO_n的面積．從而求出答案．

解答：（1）證明：∵a²=b²+c²-bc，b²=a²+c²-ac，c²=a²+b²-ab，
∴a²+b²+c²=b²+c²-bc+a²+c²-ac+a²+b²-ab，
∴0=a²+b²+c²-bc-ac-ab，
∴0=2a²+2b²+2c²-2bc-2ac-2ab，
∴0=（a-b）²+（a-c）²+（b-c）²
∴a-b=0，a-c=0，b-c=0
∴a=b，a=c，b=c
∴a=b=c
∴△ABC是等邊三角形；

（2）解：延長BO₁交AC于D
∵O₁為△ABC的內心，
∴BD⊥AC，AD=DC，設AD=x，則AC=2X，在Rt△ABD中由勾股定理，得
BD=

3

x，
∴S_△ABC=

2x• 3 x

2

=4
∴

3

x²=4
在Rt△ADO₁中，由勾股定理，得
DO₁=

3

3

x
∴BO₁=

2 3

3

x
∴EO₁=

3

3

x，BE=x
∴S₁=

3

3

x²=

4

3

同理可以求出BO₂=

2

3

x，O₂F=

1

3

x，BF=

3

3

x
S₂=

2 3 x• 3 3 x

2

=

3

9

x²=

4

9

同理可得：S₃=

4

27

…S_n=

4

3n

∴S₂₀₁₀=

4

32010

答：S₁=

4

3

，S₂=

4

9

，S₂₀₁₀=

4

32010

點評：本題考查了三角形的內切圓，因式分解的運用，等邊三角形的判定與性質，勾股定理的運用，三角形面積的計算．