Question

59、已知：三角形ABC內接于⊙O，過點A作直線EF．
（1）如圖1，AB為直徑，要使得EF是⊙O的切線，還需添加的條件是？（只須寫出三種情況）
（2）如圖2，AB為非直徑的弦，∠CAE=∠B，求證：EF是⊙O的切線．

Answer 1

分析：（1）要使得EF是⊙O的切線，只需有EF⊥AB即可；因此添加的條件能夠得出EF⊥AB即可．
（2）連接AO并延長AO交⊙O于H，連接HC；根據角與角的相等及互余關系，可得HA⊥EF；故EF是⊙O的切線．

解答：解：（1）①∠CAE=∠B，
②AB⊥FE，
③∠BAC+∠CAE=90°（或∠BAC與∠CAE互余），
④∠C=∠FAB，
⑤∠EAB=∠FAB，
任選三個即可．（2分）（6分）

證明：（2）連接AO并延長AO交⊙O于H，連接HC；
∴∠H=∠B，（7分）
∵AH是直徑，
∴∠ACH=90°．
∵∠B=∠CAE，
∴∠CAE+∠HAC=90°，（9分）
∴HA⊥EF．
∵OA是⊙O的半徑，
∴EF是⊙O的切線．（10分）

點評：本題考查的是切線的判定與應用，要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心和這點（即為半徑），再證垂直即可．