Question

已知等腰三角形ABC的兩個頂點分別是A（0，1）、B（0，3），第三個頂點C在x軸的正半軸上．關于y軸對稱的拋物線y=ax²+bx+c經過A、D（3，-2）、P三點，且點P關于直線AC的對稱點在x軸上．
（1）求直線BC的解析式；
（2）求拋物線y=ax²+bx+c的解析式及點P的坐標；
（3）設M是y軸上的一個動點，求PM+CM的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據第三個頂點C在x軸的正半軸上，利用勾股定理求出OC的長，進而求出C點坐標，應用待定系數法即可求出直線BC的解析式；
（2）由于拋物線解析式關于y軸對稱，可知一次項系數為0，利用待定系數法，設出一般式，將A（0，1），D（3，-2）代入解析式即可求出二次函數解析式；根據軸對稱定義和角平分線的定義，利用特殊角判斷出則符合條件的點P就是直線BC與拋物線y=-

1

3

x²+1的交點．
（3）根據軸對稱定義和性質，作出C關于y軸的對稱點C′，將求PM+CM的取值范圍轉化為求PM+C′M的取值范圍．

解答：解：（1）∵A（0，1），B（0，3），
∴AB=2，
∵△ABC是等腰三角形，且點C在x軸的正半軸上，
∴AC=AB=2，
∴OC=

AC2-OA2

=

3

．
∴C（

3

，0）．（2分）
設直線BC的解析式為y=kx+3，
∴

3

k+3=0，
∴k=-

3

．
∴直線BC的解析式為y=-

3

x+3．（4分）

（2）∵拋物線y=ax²+bx+c關于y軸對稱，
∴b=0．（5分）
又拋物線y=ax²+bx+c經過A（0，1），D（3，-2）兩點．
∴

c=1 9a+c=-2

解得

a=- 1 3 c=1

∴拋物線的解析式是y=-

1

3

x²+1．（7分）
在Rt△AOC中，OA=1，AC=2，易得∠ACO=30°．
在Rt△BOC中，OB=3，OC=

3

，易得∠BCO=60°．
∴CA是∠BCO的角平分線．
∴直線BC與x軸關于直線AC對稱．
點P關于直線AC的對稱點在x軸上，則符合條件的點P就是直線BC與拋物線y=-

1

3

x²+1的交點．（8分）
∵點P在直線BC：y=-

3

x+3上，故設點P的坐標是（x，-

3

x+3）．
又∵點P（x，-

3

x+3）在拋物線y=-

1

3

x²+1上，
∴-

3

x+3=-

1

3

x²+1．
解得x₁=

3

，x₂=2

3

．
故所求的點P的坐標是P₁（

3

，0），P₂（2

3

，-3）．（10分）

（3）要求PM+CM的取值范圍，可先求PM+C′M的最小值．
（I）當點P的坐標是OC=

3

時，點P與點C重合，
故PM+CM=2CM．
顯然CM的最小值就是點C到y軸的距離為

3

，
∵點M是y軸上的動點，
∴PM+CM無最大值，
∴PM+CM≥2

3

．（13分）
（II）當點P的坐標是（2

3

，-3）時，由點C關于y軸的對稱點C′（-

3

，0），
故只要求PM+MC'的最小值，顯然線段PC'最短．易求得PC'=6．
∴PM+CM的最小值是6．
同理PM+CM沒有最大值，
∴PM+CM的取值范圍是PM+CM≥6．
綜上所述，當點P的坐標是（

3

，0）時，PM+CM≥2

3

，
當點P的坐標是（2

3

，-3）時，PM+CM≥6．（15分）

點評：此題考查了對函數題綜合應用和分析解答的能力．（1）（2）小題難度不大，主要應用待定系數法即可解答，（3）要根據軸對稱的性質，將折線轉化為兩點之間線段最短的問題來解答．