Question

已知等腰三角形ABC的兩個頂點分別是A（0，1），B（0，3），第三個頂點C在x軸的正半軸上，關于y軸對稱的拋物線y=ax²+bx+c經過點A，D（3，-2）．
（1）求直線BC的解析式；
（2）求拋物線y=ax²+bx+c的解析式并判斷點C是否在拋物線上；
（3）設點P在（2）中的拋物線上，且點P關于直線AC的對稱點在x軸上，求點P的坐標．

Answer 1

分析：（1）先根據A、B兩點的坐標求出AB的長，再根據勾股定理得出OC的長，故可得出C點坐標，利用待定系數法求出直線BC的解析式即可；
（2）由于拋物線y=ax²+bx+c關于y軸對稱，所以b=0．再由拋物線y=ax²+bx+c經過A（0，1），D（3，-2），兩點可得出拋物線的解析式，把C點橫坐標代入即可檢驗出C點是否在拋物線上；
（3）先根據銳角三角函數的定義求出∠ACO及∠BCO的度數，故可得出CA是∠BCO的角平分線，即直線BC與x軸關于直線AC對稱．因為點P關于直線AC的對稱點在x軸上，則符合條件的點P就是直線BC與拋物線y=-

1

3

x²+1的交點，設出點P的坐標代入拋物線的解析式即可得出結論．

解答：解：（1）∵A（0，1），B（0，3），
∴AB=2，
∵△ABC是等腰三角形，且點C在x軸的正半軸上，
∴AC=AB=2，
∴OC=

AC2-OA2

=

3

．
∴C（

3

，0），
設直線BC的解析式為y=kx+3，
∴

3

k+3=0，
∴k=-

3

．
∴直線BC的解析式為y=-

3

x+3；

（2）∵拋物線y=ax²+bx+c關于y軸對稱，
∴b=0．
又∵拋物線y=ax²+bx+c經過A（0，1），D（3，-2），兩點．
∴

c=1 9a+c=-2

解得

a=- 1 3 c=1

∴拋物線的解析式是y=-

1

3

x²+1．
∵C（

3

，0），
∴當x=

3

時，y=0，
∴點C在拋物線上；

（3）在Rt△AOC中，
∵OA=1，AC=2，
∴∠ACO=30°．
在Rt△BOC中，
∵OB=3，OC=

3

，
∴∠BCO=60°．
∴CA是∠BCO的角平分線．
∴直線BC與x軸關于直線AC對稱．
點P關于直線AC的對稱點在x軸上，則符合條件的點P就是直線BC與拋物線y=-

1

3

x²+1的交點．
Q點P在直線BC：y=-

3

x+3上，
故設點P的坐標是（x，-

3

x+3）．
又∵點P（x，-

3

x+3）在拋物線y=-

1

3

x²+1上，
∴-

3

+3=-

1

3

x²+1．解得x₁=

3

，x₂=2

3

．
故所求的點P的坐標是P₁（

3

，0），P₂（

3

，-3）．

點評：本題考查的是二次函數綜合題，涉及到勾股定理、用待定系數法求一次函數的解析式及用待定系數法求二次函數的解析式等知識，難度適中．