Question

【題目】如圖，菱形中，，，點在上，，過點作，交于，點從點出發以個單位的速度沿著線段向終點運動，同時點從點出發也以個單位的速度沿著線段向終點運動，設運動時間為．

填空：當時，________；

當平分時，直線將菱形的周長分成兩部分，求這兩部分的比；

以為圓心，長為半徑的是否能與直線相切？如果能，求此時的值；如果不能，說明理由．

Answer 1

【答案】；

【解析】

（1）過點P作PM⊥EF，垂足為M，利用銳角三角函數求得PM的長，然后利用勾股定理求得EM的長，再利用勾股定理求得PQ的長即可；

（2）根據題意畫出圖象，結合圖形和已知條件證得△EPQ∽△FMQ，進而求得MC的長，然后求得菱形的周長被分成兩部分，并據此求得兩部分的比值；

（3）過P作PH⊥AD于H，并利用勾股定理PQ2=(t)2+(4t)2后求得t的值即可．

解：根據題意畫出圖形，如圖所示：

過點作，垂足為，

由題意可知，，則，

∵，

∴，即，

即，則，

根據勾股定理得：，

則，

在直角三角形中，根據勾股定理得：

；

根據題意畫出圖形，如圖所示：

∵平分，

∴，

又∵，

∴，

∴，

∴，

則，，

∴，，

設交于點，

∵，

∴，，

∴，

∴，即，

∴，

則，，

則直線分菱形分成的兩部分的周長分別為和，

即菱形的周長被分為和，

所以這兩部分的比為；過作于，交于點，

則，，，，

∴，

，

由題意可得方程，

解得：．