Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸相交于A，B兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C，直線y=kx+n（k≠0）經(jīng)過(guò)B，C兩點(diǎn)，已知A（1，0），C（0，3），且BC=5．

（1）分別求直線BC和拋物線的解析式（關(guān)系式）；

（2）在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P，使得以B，C，P三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）直線BC的解析式為y=﹣x+3；拋物線解析式為y=x2﹣x+3；（2）存在．P1（，），P2（，﹣2），P3（，），P4（，）．

【解析】

試題分析：（1）由C的坐標(biāo)確定出OC的長(zhǎng)，在直角三角形BOC中，利用勾股定理求出OB的長(zhǎng)，確定出點(diǎn)B坐標(biāo)，把B與C坐標(biāo)代入直線解析式求出k與n的值，確定出直線BC解析式，把A與B坐標(biāo)代入拋物線解析式求出a的值，確定出拋物線解析式即可；（2）在拋物線的對(duì)稱軸上存在點(diǎn)P，使得以B，C，P三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形，如圖所示，分三種情況考慮：當(dāng)PC⊥CB時(shí)，△PBC為直角三角形；當(dāng)P′B⊥BC時(shí)，△BCP′為直角三角形，當(dāng)點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)，即PC⊥PB時(shí)，△PBC為直角三角形；分別求出P的坐標(biāo)即可．

試題解析：（1）由C的坐標(biāo)確定出OC的長(zhǎng)，∵C（0，3），即OC=3，∵BC=5，∴在Rt△BOC中，根據(jù)勾股定理得：OB==4，即B（4，0），把B與C坐標(biāo)代入y=kx+n中，得：，解得：k=﹣，n=3，∴直線BC的解析式為y=﹣x+3；由A（1，0），B（4，0），設(shè)拋物線解析式為y=a（x﹣1）（x﹣4）=ax2﹣5ax+4a，把C（0，3）代入得：a=，則拋物線解析式為y=x2﹣x+3；（2）存在．如圖所示，分三種情況考慮：∵拋物線解析式為y=x2﹣x+3，∴其對(duì)稱軸x=﹣=﹣=．當(dāng)P1C⊥CB時(shí)，△P1BC為直角三角形，∵直線BC的斜率為﹣，兩條直線垂直時(shí)斜率的積為-1，∴直線P1C斜率為，∵C（0，3），∴直線P1C解析式為y=x+3，與拋物線對(duì)稱軸方程聯(lián)立得，解得：，此時(shí)P（，）；當(dāng)P2B⊥BC時(shí)，△BCP2為直角三角形，同理得到直線P2B的斜率為，∵B（4，0），∴直線P2B方程為y=x﹣，與拋物線對(duì)稱軸方程聯(lián)立得：，解得：，此時(shí)P2（，﹣2）．∴P1（，）或P2（，﹣2）時(shí)△BCP為直角三角形．當(dāng)點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)，即PC⊥PB時(shí)，設(shè)P（，y），∵B（4，0），C（0，3），∴BC=5，∴BC2=PC2+PB2，即25=（）2+（y﹣3）2+（﹣4）2+y2，解得y=，∴P3（，），P4（，）時(shí)△BCP為直角三角形．．綜上所述，在拋物線的對(duì)稱軸上存在點(diǎn)P，使得以B，C，P三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形，點(diǎn)P的坐標(biāo)分別為P1（，），P2（，﹣2），P3（，），P4（，）．