Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx(a≠0) 交x軸正半軸于點A，直線y=2x 經過拋物線的頂點M．已知該拋物線的對稱軸為直線x=2，交x軸于點B．

（1）求a，b的值；

（2）P是第一象限內拋物線上的一點，且在對稱軸的右側，連接OP，BP．設點P的橫坐標為m ，△OBP的面積為S，．求K關于m 的函數表達式及K的范圍．

Answer 1

【答案】（1）a=-1；b=4；（2）K=-m+4，0＜K＜2

【解析】

分析: （1）將x=2代入直線y=2x得出對應的函數值，從而得出M點的坐標，將M點的坐標代入拋物線 y = a x 2 + b x ，再根據拋物線的對稱軸為直線 x = 2，得出關于a,b的二元一次方程組，求解得出a,b的值;

（2）如圖，過點P作PH⊥x軸于點H，根據P點的橫坐標及點P在拋物線上從而得出PH的值，根據B點的坐標得出OB的長，從而根據三角形的面積公式得出S=-m2+4m，再根據,得出k=-m+4，由題意得A（4，0），M（2，4），根據P是第一象限內拋物線上的一點，且在對稱軸的右側，從而得出2＜m＜4，根據一次函數的性質知K隨著m的增大而減小，從而得出答案0＜K＜2.

詳解:

（1）解 ;將x=2代入y=2x得y=4

∴M（2，4）

由題意得 ，

∴ .

（2）解 ：如圖，過點P作PH⊥x軸于點H

∵點P的橫坐標為m，拋物線的函數表達式為y=-x2+4x

∴PH=-m2+4m

∵B（2，0），

∴OB=2

∴S= OB·PH=×2×（-m2+4m）=-m2+4m

∴K==-m+4

由題意得A（4，0）

∵M（2，4）

∴2＜m＜4

∵K隨著m的增大而減小，所以0＜K＜2