Question

【題目】如圖，以D為頂點的拋物線y=﹣x2+bx+c交x軸于A、B兩點，交y軸于點C，直線BC的表達式為y=﹣x+3．

（1）求拋物線的表達式；

（2）在直線BC上有一點P，使PO+PA的值最小，求點P的坐標；

（3）在x軸上是否存在一點Q，使得以A、C、Q為頂點的三角形與△BCD相似？若存在，請求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+2x+3；（2）P ( ,)；（3）當Q的坐標為（0，0）或（9，0）時，以A、C、Q為頂點的三角形與△BCD相似．

【解析】

（1）先求得點B和點C的坐標，然后將點B和點C的坐標代入拋物線的解析式得到關于b、c的方程，從而可求得b、c的值；（2）作點O關于BC的對稱點O′，則O′（3，3），則OP+AP的最小值為AO′的長，然后求得AO′的解析式，最后可求得點P的坐標；（3）先求得點D的坐標，然后求得CD、BC、BD的長，依據勾股定理的逆定理證明△BCD為直角三角形，然后分為△AQC∽△DCB和△ACQ∽△DCB兩種情況求解即可．

（1）把x=0代入y=﹣x+3，得：y=3，

∴C（0，3）．

把y=0代入y=﹣x+3得：x=3，

∴B（3，0），A（﹣1，0）.

將C（0，3）、B（3，0）代入y=﹣x2+bx+c得： ，解得b=2，c=3．

∴拋物線的解析式為y=﹣x2+2x+3．

（2）如圖所示：作點O關于BC的對稱點O′，則O′（3，3）．

∵O′與O關于BC對稱，

∴PO=PO′．

∴OP+AP=O′P+AP≤AO′．

∴OP+AP的最小值=O′A==5．

O′A的方程為y=

P點滿足解得：

所以P ( ,)

（3）y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，

∴D（1，4）．

又∵C（0，3，B（3，0），

∴CD=，BC=3，DB=2．

∴CD2+CB2=BD2，

∴∠DCB=90°．

∵A（﹣1，0），C（0，3），

∴OA=1，CO=3．

∴．

又∵∠AOC=DCB=90°，

∴△AOC∽△DCB．

∴當Q的坐標為（0，0）時，△AQC∽△DCB．

如圖所示：連接AC，過點C作CQ⊥AC，交x軸與點Q．

∵△ACQ為直角三角形，CO⊥AQ，

∴△ACQ∽△AOC．

又∵△AOC∽△DCB，

∴△ACQ∽△DCB．

∴，即，解得：AQ=10．

∴Q（9，0）．

綜上所述，當Q的坐標為（0，0）或（9，0）時，以A、C、Q為頂點的三角形與△BCD相似．