Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，點的坐標是，動點從原點O出發，沿著軸正方向移動，以為斜邊在第一象限內作等腰直角三角形，設動點的坐標為.

(1)當時，點的坐標是 ；當時，點的坐標是 ；

(2)求出點的坐標(用含的代數式表示)；

(3)已知點的坐標為，連接、，過點作軸于點，求當為何值時，當與全等.

Answer 1

【答案】(1) (2，2)；(，)； (2) P(，)；(3) .

【解析】

(1) 當時，三角形AOB為等腰直角三角形， 所以四邊形OAPB為正方形，直接寫出結果；當時，作PN⊥y軸于N，作PM⊥x軸與M，求出△BNP≌△AMP，即可得到ON+OM=OB-BN+OA+AM=OB+OA，即可求出；

(2) 作PE⊥y軸于E，PF⊥x軸于F，求出△BEP≌△AFP，即可得到OE+OF=OB+BE+OA+AF=OB+OA，即可求出；

(3) 根據已知求出BC值，根據上問得到OQ= ，△PQB≌△PCB，BQ=BC，因為OQ=BQ+OB，即可求出t.

(1) 當時，三角形AOB為等腰直角三角形如圖

所以四邊形OAPB為正方形，所以P(2，2)

當時，如圖

作PN⊥y軸于N，作PM⊥x軸與M

∴四邊形OMPN為矩形

∵∠BPN+∠NPA=∠APM+∠NPA=90°

∴ ∠BPN =∠APM

∵∠BNP=∠AMP

∴ △BNP≌△AMP

∴PN=PM BN=AM

∴四邊形OMPN為正方形，OM=ON=PN=PM

∴ON+OM=OB-BN+OA+AM=OB+OA=2+1=3

∴OM=ON=PN=PM=

∴ P(，)

(2) 如圖

作PE⊥y軸于E，PF⊥x軸于F，則四邊形OEPF為矩形

∵∠BPE+∠BPF=∠APF+∠BPF=90°

∴ ∠BPE =∠APF

∵∠BEP=∠AFP

∴ △BEP≌△AFP

∴PE=PF BE=AF

∴四邊形OEPF為正方形，OE=OF=PE=PF

∴OE+OF=OB+BE+OA+AF=OB+OA=2+t

∴ OE=OF=PE=PF=

∴ P(，)；

(3) 根據題意作PQ⊥y軸于Q，作PG⊥x軸與G

∵ B(0，2) C(1，1)

∴ BC=

由上問可知P(，)，OQ=

∵△PQB≌△PCB

∴BC=QB=

∴ OQ=BQ+OB=+2=

解得 t=.