Question

【題目】某企業接到一批粽子生產任務，按要求在15天內完成，約定這批粽子的出廠價為每只6元，為按時完成任務，該企業招收了新工人，設新工人李明第x天生產的粽子數量為y只，y與x滿足下列關系式： y= ．

（1）李明第幾天生產的粽子數量為420只？
（2）如圖，設第x天每只粽子的成本是p元，p與x之間的關系可用圖中的函數圖象來刻畫．若李明第x天創造的利潤為w元，求w與x之間的函數表達式，并求出第幾天的利潤最大，最大利潤是多少元？（利潤=出廠價﹣成本）
（3）設（2）小題中第m天利潤達到最大值，若要使第（m+1）天的利潤比第m天的利潤至少多48元，則第（m+1）天每只粽子至少應提價幾元？

Answer 1

【答案】
（1）解：設李明第n天生產的粽子數量為420只，

由題意可知：30n+120=420，

解得n=10．

答：第10天生產的粽子數量為420只

（2）解：由圖象得，當0≤x≤9時，p=4.1；

當9≤x≤15時，設P=kx+b，

把點（9，4.1），（15，4.7）代入得， ，

解得 ，

∴p=0.1x+3.2，

①0≤x≤5時，w=（6﹣4.1）×54x=102.6x，當x=5時，w最大=513（元）；

②5＜x≤9時，w=（6﹣4.1）×（30x+120）=57x+228，

∵x是整數，

∴當x=9時，w最大=741（元）；

③9＜x≤15時，w=（6﹣0.1x﹣3.2）×（30x+120）=﹣3x2+72x+336，

∵a=﹣3＜0，

∴當x=﹣ =12時，w最大=768（元）；

綜上，當x=12時，w有最大值，最大值為768

（3）解：由（2）可知m=12，m+1=13，

設第13天提價a元，由題意得，w13=（6+a﹣p）（30x+120）=510（a+1.5），

∴510（a+1.5）﹣768≥48，解得a≥0.1．

答：第13天每只粽子至少應提價0.1元

【解析】（1）把y=420代入y=30x+120，解方程即可求得；（2）根據圖象求得成本p與x之間的關系，然后根據利潤等于訂購價減去成本價，然后整理即可得到W與x的關系式，再根據一次函數的增減性和二次函數的增減性解答；（3）根據（2）得出m+1=13，根據利潤等于訂購價減去成本價得出提價a與利潤w的關系式，再根據題意列出不等式求解即可．