Question

【題目】在平面直角坐標系中，O為原點，四邊形OABC的頂點A在x軸的正半軸上，OA=4，OC=2，點P，點Q分別是邊BC，邊AB上的點，連結AC，PQ，點B1是點B關于PQ的對稱點．

（1）若四邊形OABC為矩形，如圖1，
①求點B的坐標；
②若BQ：BP=1：2，且點B1落在OA上，求點B1的坐標；
（2）若四邊形OABC為平行四邊形，如圖2，且OC⊥AC，過點B1作B1F∥x軸，與對角線AC、邊OC分別交于點E、點F．若B1E：B1F=1：3，點B1的橫坐標為m，求點B1的縱坐標，并直接寫出m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵OA=4，OC=2，

∴點B的坐標為（4，2）；

②如圖1，過點P作PD⊥OA，垂足為點D，

∵BQ：BP=1：2，點B關于PQ的對稱點為B1，

∴B1Q：B1P=1：2，

∵∠PDB1=∠PB1Q=∠B1AQ=90°，

∴∠PB1D=∠B1QA，

∴△PB1D∽△B1QA，

∴ ，

∴B1A=1，

∴OB1=3，即點B1（3，0）

（2）

解：∵四邊形OABC為平行四邊形，OA=4，OC=2，且OC⊥AC，

∴∠OAC=30°，

∴點C（1， ），

∵B1E：B1F=1：3，

∴點B1不與點E，F重合，也不在線段EF的延長線上，

①當點B1在線段FE的延長線上時，如圖2，延長B1F與y軸交于點G，點B1的橫坐標為m，B1F∥x軸，

B1E：B1F=1：3，

∴B1G=m，

設OG=a，

則GF= ，OF= ，

∴CF= ，

∴EF= ，B1E= ，

∴B1G=B1E+EF+FG= ，

∴a= ，即B1的縱坐標為 ，

m的取值范圍是 ；

②當點B1在線段EF（除點E，F）上時，如圖3，延長B1F與y軸交于點G，點B1的橫坐標為m，B1F∥x軸，

B1E：B1F=1：3，

∴B1G=m，

設OG=a，

則GF= ，OF= ，

∴CF= ，

∴FE= ，B1F= ，

∴B1G=B1F+FG= ，

∴a= ，即點B1的縱坐標為 ，

故m的取值范圍是

【解析】（1）①根據OA=4，OC=2，可得點B的坐標；②利用相似三角形的判定和性質得出點的坐標；（2）根據平行四邊形的性質，且分點在線段EF的延長線和線段上兩種情況進行分析解答．
【考點精析】本題主要考查了相似三角形的應用的相關知識點，需要掌握測高：測量不能到達頂部的物體的高度，通常用“在同一時刻物高與影長成比例”的原理解決；測距：測量不能到達兩點間的舉例，常構造相似三角形求解才能正確解答此題．