Question

【題目】如圖1，平面直角坐標系中，拋物線y= 與x 軸的兩個交點分別為A（﹣3，0），B（1，0），與y軸的交點為D，對稱軸與拋物線交于點C，與x軸負半軸交于點H.

（1）求拋物線的表達式；
（2）點E，F 分別是拋物線對稱軸CH 上的兩個動點（點E 在點F 上方），且EF=1，求使四邊形BDEF 的周長最小時的點E，F 坐標及最小值；
（3）如圖2，點P 為對稱軸左側，x 軸上方的拋物線上的點，PQ⊥AC 交AC 于點Q，是否存在這樣的點P 使△PCQ與△ACH 相似，若存在請求出點P 的坐標，若不存在請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

將A（﹣3，0）、B（1，0），代入y=ax2+bx+3，

得：

解得：

拋物線的解析式為：y=﹣x2﹣2x+3，

頂點C的坐標為（﹣1，4）．

（2）

將D點向下平移1個單位，得點M，連接AM交對稱軸于F，作DE∥FM交對稱軸于E點，

如圖，EF∥DM，DE∥FM，四邊形EFMD是平行四邊形，

DE=FM，EF=DM=1．

DE+FB=FM+AF=AM．

由勾股定理，得AM==，

BD=

四邊形BDEF周長的最小值=BD+DE+EF+FB

=BD+EF+(DE+BF)

= BD+EF +AM

=+1+；

設AM的解析式為y=kx+b，將A、M點坐標代入解得k=，b=2．

AD的解析式為y= x+2，

當x=﹣1時，y= ，即F（﹣1， ），

由EF=1，得E（﹣1， ），

當四邊形BDEF周長最小時，此時點F（﹣1， ），E的坐標（﹣1， ），

四邊形BDEF周長的最小值是 +1+．

（3）

點P在對稱軸左側.

只能是△PCQ∽△ACH，得∠PCQ=∠ACH．

過A作CA的垂線交PC于點F，作FN⊥x軸于點N．

由△CFA∽△CAH得 =2，

由△FNA∽△AHC得 ．

∴AN=2，FN=1，點F坐標為（﹣5，1）．

設直線CF的解析式為y=k2x+b2，則，

解得： ．

∴直線CF的解析式 ，

聯立 ，

解得： 或 （舍去）．

∴滿足條件的點P坐標為 ．

【解析】(1)二次函數解析系中有2個未知數，所以就需要2個點，將兩點的坐標代進去即可求得；
（2）根據軸對稱-求最短路徑的方法去做；
（3）因為∠PCQ<∠CAH，所以只能是△PCQ∽△ACH，得∠PCQ=∠ACH．過A作CA的垂線交PC于點F，作FN⊥x軸于點N．