Question

【題目】在△ABC中，CA=CB，在△AED中，DA=DE，點D，E分別在CA，AB上．
（1）如圖①，若∠ACB=∠ADE=90°，則CD與BE的數量關系是；

（2）若∠ACB=∠ADE=120°，將△AED繞點A旋轉至如圖②所示的位置，則CD與BE的數量關系是；，

（3）若∠ACB=∠ADE=2α（0°＜α＜90°），將△AED繞點A旋轉至如圖③所示的位置，探究線段CD與BE的數量關系，并加以證明（用含α的式子表示）．

Answer 1

【答案】
（1）BE= CD
（2）BE= CD
（3）解：BE=2CDsinα，

證明：如圖③，分別過點C、D作CM⊥AB于點M，DN⊥AE于點N，

∵CA=CB，DA=DE，∠ACB=∠ADE=2α，

∴∠CAB=∠DAE，∠ACM=∠ADN=α，AM= AB，AN= AE．

∴∠CAD=∠BAE，

Rt△ACM和Rt△ADN中，

sin∠ACM= ，sin∠ADN= ，

∴ ，

∴ ，

又∵∠CAD=∠BAE，

∴△BAE∽△CAD，

∴

∴BE=2DCsinα．

【解析】

解：（1）如圖①，作DM∥AB，交BC于點M，

∵∠ACB=∠ADE=90°，CA=CB，DA=DE，

∴∠CAB=∠CBA=∠DEA=45°，

∴DE∥BC，

∴四邊形EBMD是平行四邊形，

∴DM=BE，

∵DM∥AB，

∴∠CDM=45°，

∴DM= CD，

∴BE= CD；

所以答案是：BE= CD；（2）如圖②，

∵CA=CB，∠ACB=120°

∴∠CAB=∠CBA=30°，

∴AB= AC，

同理AE= AD，

∴ = = ，∠CAD=∠BAE=30°+∠BAD，

∴△CAD∽△BAE，

= =

∴BE= CD；

所以答案是：BE= CD；

【考點精析】本題主要考查了相似三角形的判定與性質和銳角三角函數的定義的相關知識點，需要掌握相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方；銳角A的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A的銳角三角函數才能正確解答此題．