Question

【題目】認真閱讀下面的材料，完成有關問題．

材料：在學習絕對值時，老師教過我們絕對值的幾何含義，一般地，點A、B在數軸上分別表示有理數a、b，那么A、B之間的距離可表示為|a﹣b|．

問題（1）：點A、B、C在數軸上分別表示有理數x、﹣2、1，那么A到B的距離與A到C的距離之和可表示為　　 （用含絕對值的式子表示）．

問題（2）：利用數軸探究：①找出滿足|x﹣3|+|x+1|=6的x的所有值是　 　　　；

②設|x﹣3|+|x+1|=p，當x的值取在不小于﹣1且不大于3的范圍時，p的值是不變的，而且是p的最小值，這個最小值是　　　 ；當x的值取在　　　 的范圍時，|x|+|x﹣2|的最小值是　　　 ．

問題（3）：求|x﹣3|+|x﹣2|+|x+1|的最小值以及此時x的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①和4；②4；當x的取值在不小于0且不大于2的范圍時，的最小值是2；（3）的最小值為4，此時x的值為2.

【解析】

（1）根據材料中兩點間距離的表示方法，分別表示出A到B的距離、A到C的距離，然后求和即可；

（2）①表示的是在數軸上的一點到的距離之和為6，因此分三種情況分析，去絕對值計算即可；

②先根據x的取值范圍去絕對值，再求解即可得出答案；利用同樣的方法，分析即可；

（3）根據數軸的定義，劃分x的取值范圍，去絕對值進行計算即可.

（1）由題意得：A到B的距離為，A到C的距離為

則所求的式子為：；

（2）①表示的是在數軸上的一點到的距離之和為6

分以下三種情況：

當時，可化為，解得

當時，可化為，無解，不滿足題意

當時，可化為，解得

綜上，滿足的x的所有值是和4；

②由題意得，當時，p取得最小值

則p的最小值是4

表示的是在數軸上的一點到的距離之和

當時，

當時，

當時，

綜上，當x的取值在不小于0且不大于2的范圍時，的最小值是2；

（3）表示的是在數軸上的一點到的距離之和

當時，

當時，

此時，，則

當時，

此時，

當時，

綜上，的最小值為4，此時，解得.