Question

如圖，△ABC中，AB=AC，AD是△ABC外角的平分線，已知∠BAC=∠ACD．

（1）求證：△ABC≌△CDA；
（2）若∠B=60°，求證：四邊形ABCD是菱形．

Answer 1

證明：（1）∵AB=AC，∴∠B=∠ACB。
∵∠FAC=∠B+∠ACB=2∠ACB，AD平分∠FAC，∴∠FAC=2∠CAD。∴∠CAD=∠ACB。
∵在△ABC和△CDA中，∠BAC=∠ACD，AC=CA，∠ACB =∠CAD，
∴△ABC≌△CDA（ASA）。
（2）∵∠FAC=2∠ACB，∠FAC=2∠DAC，∴∠DAC=∠ACB。∴AD∥BC。
∵∠BAC=∠ACD，∴AB∥CD。
∴四邊形ABCD是平行四邊形。
∵∠B=60°，AB=AC，∴△ABC是等邊三角形。∴AB=BC。
∴平行四邊形ABCD是菱形。

試題分析：（1）求出∠B=∠ACB，根據三角形外角性質求出∠FAC=2∠ACB=2∠DAC，推出∠DAC=∠ACB，根據ASA證明△ABC和△CDA全等。
（2）推出AD∥BC，AB∥CD，得出平行四邊形ABCD，根據∠B=60°，AB=AC，得出等邊△ABC，推出AB=BC即可。