Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，點D是邊BC上一動點（不與B，C重合），E是AC上一個動點，始終保持∠ADE=∠B，則當△DCE為直角三角形時，BD的長為 ．

Answer 1

【答案】4或
【解析】解：分兩種情況：

①當∠DEC=90°時，△DCE為直角三角形，如圖1，

∴∠AED=90°，

∵AB=AC，

∴∠B=∠C，

∵∠ADE=∠B，

∴∠ADE=∠C，

∵∠DAE=∠DAC，

∴△ADE∽△ACD，

∴∠ADC=∠AED=90°，

∴AD⊥BC，

∴BD= BC= ×8=4；

②當∠EDC=90°時，△DCE為直角三角形，如圖2，

過A作AF⊥BC于F，則BF=4，

∵∠ADE+∠EDC=∠B+∠BAD，

∠ADE=∠B，

∴∠EDC=∠BAD=90°，

∴∠BAD=∠BFA=90°，

∵∠B=∠B，

∴△BFA∽△BAD，

∴ ，

∵AB=5，

∴ ，

∴BD= ，

綜上所述，BD為4或 ，

所以答案是：4或 ．

【考點精析】利用等腰三角形的性質和相似三角形的判定與性質對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知等腰三角形的兩個底角相等（簡稱：等邊對等角）；相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方．