Question

【題目】如圖，在等邊△ABC中，M是邊BC延長線上一點，連接AM交△ABC的外接圓于點D，延長BD至N，使得BN=AM，連接CN、MN，

（1）求證：△CMN是等邊三角形；
（2）判斷CN與⊙O的位置關系，并說明理由；
（3）若AD：AB=3：4，BN=4，求等邊△ABC的邊長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：△CMN是等邊三角形，

理由：在△BCN與△ACM中， ，

∴△BCN≌△ACM，

∴CN=CM，∠BCN=∠ACM，

∴∠BCN﹣∠ACN=∠ACM﹣∠ACN，

即∠MCN=∠ACB=60°，

∴△CMN是等邊三角形

（2）解：連接OA．OB．OC，

在△BOC與△AOC中， ，

∴△BOC≌△AOC，

∴∠ACO=∠BCO= ACB=30°，

∵∠ACB=∠MCN=60°，

∴∠ACN=60°，

∴∠OCN=90°，

∴OC⊥CN，

∴CN是⊙O的切線

（3）解：∵∠ADB=∠ACB=60°，

∴∠ADB=∠ABC，

∵∠BAD=∠MAB，

∴△ABD∽△AMB，

∴ = ，

∵AM=BN=4，

∴AB=3．

∴等邊△ABC的邊長是3．

【解析】（1）利用邊角邊定理判定出三角形△BCN≌△ACM，再由三角形全等的性質得CN=CM，∠BCN=∠ACM，從而找到∠MCN=∠ACB=60°得到結論；（2）先由邊邊邊得出△BOC≌△AOC，再由三角形全等的性質得∠ACO= 30°，由平角的定義得∠ACN=60°，進而∠OCN=90°得出CN是⊙O的切線；（3）由同弧所對的圓周角相等得∠ADB=∠ACB，進而得∠ADB=∠ABC從而△ABD∽△AMB，由相似三角形的性質得 = 得到AB的長度，最終得出等邊△ABC的邊長。
【考點精析】關于本題考查的圓周角定理和直線與圓的三種位置關系，需要了解頂點在圓心上的角叫做圓心角;頂點在圓周上，且它的兩邊分別與圓有另一個交點的角叫做圓周角;一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半；直線與圓有三種位置關系：無公共點為相離；有兩個公共點為相交,這條直線叫做圓的割線；圓與直線有唯一公共點為相切，這條直線叫做圓的切線，這個唯一的公共點叫做切點才能得出正確答案．