Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，點A，C，D在⊙O上，過D作PF∥AC交⊙O于F，交AB于E，且∠BPF=∠ADC．

（1）判斷直線BP和⊙O的位置關系，并說明你的理由；
（2）當⊙O的半徑為 ，AC=2，BE=1時，求BP的長．

Answer 1

【答案】
（1）解：直線BP和⊙O相切，

理由：連接BC，

∵AB是⊙O直徑，

∴∠ACB=90°，

∵PF∥AC，

∴BC⊥PF，

則∠PBC+∠BPF=90°，

∵∠BPF=∠ADC，∠ADC=∠ABC，

∴∠BPF=∠ABC，

∴∠PBC+∠ABC=90°，

即∠PBA=90°，

∴PB⊥AB，

∵AB是直徑，

∴直線BP和⊙O相切

（2）解：由已知，得∠ACB=90°，

∵AC=2，AB=2 ，

∴由勾股定理得：BC=4，

∵∠BPF=∠ADC，∠ADC=∠ABC，

∴∠BPF=∠ABC，

由（1），得∠ABP=∠ACB=90°，

∴△ACB∽△EBP，

∴ = ，

解得BP=2，

即BP的長為2．

【解析】（1）由AB是⊙O的直徑及PF∥AC，構造圓周角是直角，因此連接BC，易得到BC⊥PF，從而證得∠PBC+∠BPF=90°，再根據同弧所對的圓周角相等，通過等量代換，得出∠PBA=90°，就可證得結論。
（2）根據已知條件在Rt△ABC中，根據勾股定理可以求得BC的長，再證明△ACB∽△EBP，得對應邊成比例，建立方程，解方程即可求解。
【考點精析】掌握勾股定理的概念和圓周角定理是解答本題的根本，需要知道直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2；頂點在圓心上的角叫做圓心角;頂點在圓周上，且它的兩邊分別與圓有另一個交點的角叫做圓周角;一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半．