Question

配方法可以用來解一元二次方程，還可以用它來解決很多問題．例如：因為3a²≥0，所以3a²+1≥1，即：3a²+1有最小值1，此時a=0；同樣，因為-3（a+1）²≤0，所以-3（a+1）²+6≤6，即-3（a+1）²+6有最大值6，此時 a=-1．
①當x=

1

時，代數式-2（x-1）²+3有最

大

（填寫大或小）值為

3

．
②當x=

2

時，代數式-x²+4x+3有最

大

（填寫大或小）值為

7

．
③矩形花園的一面靠墻，另外三面的柵欄所圍成的總長度是16m，當花園與墻相鄰的邊長為多少時，花園的面積最大？最大面積是多少？

Answer 1

分析：①由完全平方式的最小值為0，得到x=1時，代數式的最大值為3；
②將代數式前兩項提取-1，配方為完全平方式，根據完全平方式的最小值為0，即可得到代數式的最大值及此時x的值；
③設垂直于墻的一邊長為xm，根據總長度為16m，表示出平行于墻的一邊為（16-2x）m，表示出花園的面積，整理后配方，利用完全平方式的最小值為0，即可得到面積的最大值及此時x的值．

解答：解：①∵（x-1）²≥0，
∴當x=1時，（x-1）²的最小值為0，
則當x=1時，代數式-2（x-1）²+3的最大值為3；
②代數式-x²+4x+3=-（x²-4x+4）+7=-（x-2）²+7，
則當x=2時，代數式-x²+4x+3的最大值為7；
③設垂直于墻的一邊為xm，則平行于墻的一邊為（16-2x）m，
∴花園的面積為x（16-2x）=-2x²+16x=-2（x²-8x+16）+32=-2（x-4）²+32，
則當邊長為4米時，花園面積最大為32m²．
故答案為：①1；大；3；②2；大；7

點評：此題考查了配方法的應用，解題時要注意配方法的步驟．注意在變形的過程中不要改變式子的值．