Question

配方法可以用來解一元二次方程，還可以用它來解決很多問題．
因為2x²≥0，所以2x²+1就有個最小值1，即2x²+1≥1，只有當x=0時，才能得到這個式子的最小值1．同樣，因為-2x²≤0，所以-2x²+1有最大值1，即-2x²+1≤1，只有在x=0時，才能得到這個式子的最大值1．
①當x=

 

時，代數式3（x-1）²+3有最

 

（填寫大或小）值為

 

；
②當x=

 

時，代數式-3x²+6x+1有最

 

（填寫大或小）值為

 

；
③矩形花園的一面靠墻，另外三面用柵欄圍成．
（1）若柵欄的總長度是12m，當花園與墻相鄰的兩邊的邊長x為多少時，花園的面積y最大？最大面積是多少？
（2）若柵欄的總長度為am，那么邊長x為多少時，花園的面積y最大？最大面積又是多少？

Answer 1

分析：①3（x-1）²+3可理解為二次函數解析式的頂點式，開口向上，在頂點處，有最小值；
②-3x²+6x+1=-3（x-1）²+4，通過配方寫成頂點式，開口向下，在頂點處，有最大值；
③根據周長及圖形條件，表示矩形兩邊長，根據矩形面積公式列出二次函數解析式，由函數的性質回答題目問題．

解答：解：①代數式3（x-1）²+3為二次函數的頂點式，
根據二次函數的性質可知：當x=1時，函數有最小值為3；

②代數式-3x²+6x+1=-3（x-1）²+4為二次函數的頂點式，
根據二次函數的性質可知：當x=1時，函數有最大值為4；

③（1）花園與墻相鄰的兩邊的邊長x，另一邊長為12-2x，
矩形花園面積為x（12-2x）=-2x²+12x，函數圖象開口向下，
當x=-

12

2×(-2)

=3時，y的最大值為18；
（2）當柵欄的總長度為a，花園與墻相鄰的兩邊的邊長x，另一邊長為a-2x，
矩形花園面積為x（a-2x）=-2x²+ax，函數圖象開口向下，
當x=

a

4

時，y的最大值為

a2

8

．

點評：本題運用了拋物線的頂點式求函數的最大（小）值，根據實際問題列二次函數解析式，用頂點坐標公式求函數的最大（小）值．