Question

已知：點P是三角形ABC內任意一點，連接PA、PB、PC．
（1）如圖1，當△ABC是等邊三角形時，將△PBC繞點B順時針旋轉60°到△P′BC′的位置．若AB的長為a，BP的長為b（b＜a），求△PBC旋轉到△P′BC′的過程中邊PC所掃過區域（圖1中陰影部分）的面積．（用a、b表示）
（2）如圖2，若△ABC為任意銳角三角形，問：當∠APC、∠APB和∠BPC滿足什么大小關系時，AP+BP+CP的和最小，并說明理由．

Answer 1

解：（1）∵△ABC是等邊三角形，AB的長為a，
∴AB=BC=a．
又∵△P′BC′是由△PBC繞點B順時針旋轉60°得到的，
∴∠PBP′=∠CBC′=60°，
∴S_陰影=-=π（a²-b²）；

（2）如圖，將△BPC繞著點B順時針旋轉60°到△BP′C′的位置，連接PP′．
則△BPC≌△BP′C′，∠PBP′=60°，
∴BP=BP′，
∴△BPP′為等邊三角形，
∴∠BPP′=∠BP′P=60°，PP′=BP，C′P′=CP，
則AP+BP+CP=AP+PP′+P′C′≥AC′，
顯然當A、P、P′、C′四點在同一直線上時，AP+BP+CP有最小值，
此時，∠APB=120°，∠BP′C′=120°，
于是∠BPC=∠BP′C′=120°，∠APC=360°-2×120°=120°，
∴當∠APC=∠BPC=∠APB=120°時，AP+BP+CP的和最小．
分析：（1）根據旋轉變換的性質可得陰影部分的面積等于以BC為半徑的扇形面積減去以BP為半徑的扇形的面積，然后列式進行計算即可得解；
（2）如圖，將△BPC繞著點B順時針旋轉60°到△BP′C′的位置，連接PP′．通過旋轉，使A、P、P′、C′四點共線，這樣AP+BP+CP的和最小．
點評：本題考查了旋轉的性質，等邊三角形的判定與性質以及扇形的面積公式等知識點．觀察出陰影部分的面積的表示是解答（1）題的關鍵．