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已知：點D是等邊△ABC邊上任意一點，∠ABD=∠ACE，BD=CE．
（1）說明△ABD≌△ACE的理由；
（2）△ADE是什么三角形？為什么？

分析：（1）根據全等三角形的判定定理SAS證得△ABD≌△ACE；
（2）利用（1）中的全等三角形的對應邊相等判定AD=AE，則△ADE是等腰三角形．

解答：（1）證明：如圖，∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=AC．
在△ABD與△ACE中，

AB=AC

∠ABD=∠ACE

BD=CE

，
∴△ABD≌△ACE（SAS）；

（2）解：△ADE是等腰三角形．理由如下：
∵由（1）知△ABD≌△ACE，
∴AD=AE，∴△ADE是等腰三角形．

點評：本題考查了全等三角形的判定與性質、等腰三角形的判定以及等邊三角形的性質．全等三角形的判定是結合全等三角形的性質證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時，關鍵是選擇恰當的判定條件．

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（2011•金山區一模）如圖，已知：點P是等邊△ABC的重心，PD=2，那么AB=

．

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已知：點P是等邊△ABC內任意一點，它到三邊的距離分別為h₁、h₂、h₃，且滿足h₁+h₂+h₃=6，則S_△ABC=

．

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【老題重現】
求證：等腰三角形底邊上任意一點到兩腰的距離和等于一腰上的高．
已知：△ABC中，AB=AC，點P是BC邊上任意一點，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，CD是AB邊上的高線．
求證：PE+PF=CD
證明：連接AP，
∵S_△ABP+S_△ACP=S_△ABC
∴

AB×PE

AC×PF

AB×CD

∵AB=AC
∴PE+PF=CD

【變式應用】
請利用“類比”和“化歸”兩種方法解答下面問題：
求證：等邊三角形內上任意一點到三邊的距離和等于一邊上的高．
已知：點P是等邊△ABC內任意一點，PD⊥BC于D，PE⊥AC于E，PF⊥AB于F，AH是BC邊上的高線．

求證：PD+PE+PF=AH
證明：
方法（一）類比：通過類比上題的思路和方法，模仿上題的“面積法”解決本題．
連接AP，BP，CP
方法（二）化歸：如圖，通過MN在等邊△ABC中構造符合“老題”規律的等邊△AMN，化“新題”為“老題”，直接利用“老題重現”的結論解決問題．
過點P作MN∥BC，交AB于M，交AC于N，交AH于G．

【提煉運用】
已知：點P是等邊△ABC內任意一點，設到三邊的距離分別為a、b、c，且使得以a、b、c為邊能夠構成三角形．
請在圖中畫出滿足條件的點P一切可能的位置，并對這些位置加以說明．

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科目：初中數學 來源： 題型：解答題

求證：等腰三角形底邊上任意一點到兩腰的距離和等于一腰上的高．
已知：△ABC中，AB=AC，點P是BC邊上任意一點，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，CD是AB邊上的高線．
求證：PE+PF=CD
證明：連接AP，
∵S_△ABP+S_△ACP=S_△ABC
∴ $數學公式$
∵AB=AC
∴PE+PF=CD

【變式應用】
請利用“類比”和“化歸”兩種方法解答下面問題：
求證：等邊三角形內上任意一點到三邊的距離和等于一邊上的高．
已知：點P是等邊△ABC內任意一點，PD⊥BC于D，PE⊥AC于E，PF⊥AB于F，AH是BC邊上的高線．
求證：PD+PE+PF=AH
證明：
方法（一）類比：通過類比上題的思路和方法，模仿上題的“面積法”解決本題．
連接AP，BP，CP
方法（二）化歸：如圖，通過MN在等邊△ABC中構造符合“老題”規律的等邊△AMN，化“新題”為“老題”，直接利用“老題重現”的結論解決問題．
過點P作MN∥BC，交AB于M，交AC于N，交AH于G．

【提煉運用】
已知：點P是等邊△ABC內任意一點，設到三邊的距離分別為a、b、c，且使得以a、b、c為邊能夠構成三角形．
請在圖中畫出滿足條件的點P一切可能的位置，并對這些位置加以說明．

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