Question

已知：點D是△ABC的邊BC的中點，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．
求證：△ABC是等腰三角形．

Answer 1

分析：根據角平分線的定義可得∠BAD=∠CAD，然后利用“角角邊”證明△AED和△AFD全等，根據全等三角形對應邊相等可得DE=DF，再利用“HL”證明Rt△BDE和Rt△CDF全等，根據全等三角形對應角相等即可證明．

解答：證明：∵AD是∠BAC的平分線，
∴∠BAD=∠CAD，
∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴∠AED=∠AFD=90°，
在△AED和△AFD中，

∠BAD=∠CAD ∠AED=∠AFD=90° AD=AD

，
∴△AED≌△AFD（AAS），
∴DE=DF，
∵AD是BC邊的中線，
∴BD=CD，
在Rt△BDE和Rt△CDF中，

BD=CD DE=EF

，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），
∴∠B=∠C，
∴△ABC是等腰三角形．

點評：本題考查了全等三角形的判定與性質，要證邊相等，想辦法證明邊所在的三角形全等，是常用的方法之一，要熟練掌握并靈活運用，本題難點在于要進行二次三角形全等的證明．