Question

數學活動——求重疊部分的面積。
問題情境：數學活動課上，老師出示了一個問題：

如圖（1），將兩塊全等的直角三角形紙片△ABC和△DEF疊放在一起，其中∠ACB=∠E=90°，BC=DE=6，AC=FE=8，頂點D與邊AB的中點重合，DE經過點C，DF交AC于點G。
求重疊部分（△DCG）的面積。
（1）獨立思考：請解答老師提出的問題。
（2）合作交流：“希望”小組受此問題的啟發，將△DEF繞點D旋轉，使DE⊥AB交AC于點H，DF交AC于點G，如圖(2)，你能求出重疊部分(△DGH)的面積嗎？請寫出解答過程。
（3）提出問題：老師要求各小組向“希望”小組學習，將△DEF繞點D旋轉，再提出一個求重疊部分面積的問題。“愛心”小組提出的問題是：如圖(3)，將△DEF繞點D旋轉，DE，DF分別交AC于點M，N，使DM=MN，求重疊部分(△DMN)的面積。
任務：①請解決“愛心”小組所提出的問題，直接寫出△DMN的面積是　 　.
②請你仿照以上兩個小組，大膽提出一個符合老師要求的問題，并在圖中畫出圖形，標明字母，不必解答（注：也可在圖（1）的基礎上按順時針方向旋轉）。

Answer 1

解：（1）∵∠ACB=90°，D是AB的中點，∴DC=DB=DA�！唷螧=∠DCB。
又∵△ABC≌△FDE，∴∠FDE=∠B。
∴∠FDE=∠DCB�！郉G∥BC�！唷螦GD=∠ACB=90°。∴DG⊥AC。
又∵DC=DA，∴G是AC的中點。
∴CG=AC=×8=4，DG=BC=×6=3。
∴S_DCG=·CG·DG=×4×3=6。
（2）∵△ABC≌△FDE，∴∠B=∠1。
∵∠C=90°，ED⊥AB，∴∠A+∠B=90°，∠A+∠2=90°�！唷螧=∠2。
∴∠1=∠2�！郍H=GD。
∵∠A+∠2=90°，∠1+∠3=90°，∴∠A=∠3。∴AG=GD。∴AG=GH。
∴點G是AH的中點。
在Rt△ABC中，AB= 10，
∵D是AB的中點，∴AD=AB=5。
在△ADH與△ACB中，∵∠A =∠A，∠ADH=∠ACB=90°，
∴△ADH∽△ACB。 ∴，即，解得。
∴S_△DGH＝S_△ADH＝×·DH·AD=××5=。
（3）①。
②如圖4，將△DEF繞點D旋轉，使DE⊥BC于點M，DF交A C于點N，求重疊部分（四邊形DMCN）的面積。（答案不唯一）

試題分析：（1）通過證明DG是Rt△ABC的中位線，即可求得重疊部分（△DCG）的面積。
（2）通過證明S_△DGH＝S_△ADH，即可求得重疊部分（△DGH）的面積。
（3）①如圖，將△DEF繞點D旋轉至（2）的位置△DE′F′，過點M作MP⊥DM交DE′于點P，過點N作NQ⊥DM交DF′于點Q，則

∵∠NDQ=∠QDM（旋轉角相等），DM=MN，∠DNQ=∠DQM=90°，
∴△ABC≌△FDE（ASA）。
∴S_△DDMN＝S_△DGH＝=。
②開放型（答案不唯一）。