Question

【題目】如圖AB為⊙O的直徑，C為⊙O上半圓的一個動點，CE⊥AB于點E，∠OCE的角平分線交⊙O于D點．

（1）當C點在⊙O上半圓移動時，D點位置會變嗎？請說明理由；

（2）若⊙O的半徑為5，弦AC的長為6，連接AD，求線段AD、CD的長．

Answer 1

【答案】（1）當C點在⊙O上半圓移動時，D點位置不會變；理由見解析；（2）線段AD的長度為5，線段CD的長度為7．

【解析】

（1）連接OD．根據角平分線的性質得到∠1=∠3，根據原點半徑相等得到OC=OD，根據等邊對等角得到∠1=∠2，等量代換得到∠2=∠3，即可判定CE∥OD，

又CE⊥AB，則OD⊥AB，根據垂徑定理可知點D為半圓AB的中點．

（2）在直角△AOD中，OA=OD=5，根據勾股定理即可求出過點A作CD的垂線，垂足為G，根據圓周角定理得到即可求出在直角△AGD中，即可求出CD的長.

（1）當C點在⊙O上半圓移動時，D點位置不會變；

理由如下：連接OD．

∵CD平分∠OCE，

∴∠1=∠3，

而OC=OD，

∴∠1=∠2，

∴∠2=∠3，

∴CE∥OD，

∵CE⊥AB，

∴OD⊥AB，

∴=,即點D為半圓AB的中點．

（2）∵在直角△AOD中，OA=OD=5，

∴

過點A作CD的垂線，垂足為G，

∵

∴△AGC是等腰直角三角形，

∵AC=6，

∴

在直角△AGD中，

∴

∴線段AD的長度為，線段CD的長度為．