Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑作半圓O，交BC于點D，連接AD，過點D作DE⊥AC，垂足為點E，交AB的延長線于點F．

（1）求證：EF是⊙O的切線．

（2）如果⊙O的半徑為5，sin∠ADE=，求BF的長．

Answer 1

【答案】（1）答案見解析；（2）．

【解析】試題分析：（1）連接OD，AB為⊙O的直徑得∠ADB=90°，由AB=AC，根據等腰三角形性質得AD平分BC，即DB=DC，則OD為△ABC的中位線，所以OD∥AC，而DE⊥AC，則OD⊥DE，然后根據切線的判定方法即可得到結論；

（2）由∠DAC=∠DAB，根據等角的余角相等得∠ADE=∠ABD，在Rt△ADB中，利用解直角三角形的方法可計算出AD=8，在Rt△ADE中可計算出AE=，然后由OD∥AE，得△FDO∽△FEA，再利用相似比可計算出BF．

試題解析：（1）證明：連結OD

∵OD=OB∴∠ODB=∠DBO

又AB=AC

∴∠DBO=∠C

∴∠ODB =∠C

∴OD ∥AC

又DE⊥AC

∴DE ⊥OD

∴EF是⊙O的切線．

（2）∵AB是直徑

∴∠ADB=90 °

∴∠ADC=90 °

即∠1+∠2=90 °又∠C+∠2=90 °

∴∠1=∠C

∴∠1 =∠3

∴

∴

∴AD=8

在Rt△ADB中，AB=10∴BD=6

在又Rt△AED中，

∴

設BF=x

∵OD ∥AE

∴△ODF∽△AEF

∴ ，即，

解得：x=