Question

【題目】閱讀材料：

若一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0）的兩根為x1，x2，則 x1+x2=﹣，x1x2=，我們把這個命題叫做韋達定理，根據上述材料，解決下面問題：

（1）一元二次方程 2x2﹣3x+1=0 的兩根為 x1，x2，則 x1+x2=( )，x1x2=( ) ；

（2）已 知 實 數 m 、n 滿足 m2﹣m﹣1=0，n2﹣n﹣1=0 且 m≠n，求+的值；

（3）若 x1，x2總是方程 2x2+4x+m=0 的兩個根，求 x12+x22 的最小值．

Answer 1

【答案】（1），；（2）﹣1；（3）x12+x22的最小值為 2．

【解析】

（1）直接利用韋達定理求解；

（2）利用已知條件可把 m、n 看作方程x2﹣x﹣1=0的兩根，利用根與系數的

關系得到 m+n=1，mn=﹣1，而，然后利用整體代入的方法計算；

（3）先利用判別式的意義求出 m≤2，再利用根與系數的關系得到 x1+x2=-2，

x1x2=，由于x12+x22=（x1+x2）2﹣2 x1x2，從而可根據 m 的范圍確定x12+x22的最小值．

（1）x1+x2=，x1x2=；

（2）∵實數m、n滿足m2-m-1=0，n2-n-1=0 且m≠n，

∴m、n可看作方程x2-x-1=0的兩根，

∴m+n=1，mn=-1，

∴+=-1；

（3）∵△=42﹣4×2×m≥0，

∴m≤2，

根據題意得x1+x2=-2，x1x2=，

∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=4-m，

∵m≤2，

∴4-m≥2，

∴x12+x22的最小值為 2．