Question

【題目】如圖，直線y＝﹣2x+4與x軸、y軸分別交于A、B兩點，P是直線AB上的一個動點，點C的坐標為（﹣4，0），PC交y軸點于D，O是原點．

（1）求△AOB的面積；

（2）線段AB上存在一點P，使△DOC≌△AOB，求此時點P的坐標；

（3）直線AB上存在一點P，使以P、C、O為頂點的三角形面積與△AOB面積相等，求出P點的坐標．

Answer 1

【答案】（1）△AOB的面積是4；（2）點P的坐標是（，）；（3）點P的坐標為：（1，2）或（3，﹣2）．

【解析】

（1）利用直線解析式易求得點A、B的坐標，從而得到線段OA=2，OB=4．所以根據直角三角形的面積公式來求△AOB的面積；
（2）根據全等三角形的對應邊相等求得線段OD=OA=2，則易求點D的坐標．由點C、D的坐標易求得直線CD的方程，則點P是直線CD與直線AB的交點；
（3）設P（x，y）．根據點C的坐標易求得線段OC=4．所以由直角三角形的面積公式列出關于y的方程，通過解方程可以求得點P的坐標．

解：（1）如圖1，∵直線y＝﹣2x+4與x軸、y軸分別相交于A、B兩點，

∴A（2，0），B（0，4），

∴OA＝2，OB＝4．

∴SAOB＝OAOB＝×2×4＝4，即△AOB的面積是4；

（2）∵△DOC≌△AOB，

∴OD＝OA＝2，

∴D（0，2）．

故設直線CD的解析式為y＝kx+2（k≠0）．

∵C（﹣4，0）

則0＝﹣4k+2，

解得，k＝，

∴直線CD的解析式為y＝x+2．

又∵點P是直線CD與直線AB的交點，

解得：

點 的坐標是

（3）如圖2，設P（x，y），

又∵點C的坐標為（﹣4，0），

∴OC＝4，

∵S△COP＝S△AOB，

∴OC×|y|＝4，即|y|＝2，

解得，y＝±2，

∵P是直線AB上一點，

∴點P的坐標為：（1，2）或（3，﹣2）．