Question

【題目】如圖，點，，，是直徑為的上的四個點，是劣弧的中點，與交于點．

（1）求證：；

（2）若，，求證：是正三角形；

（3）在（2）的條件下，過點作的切線，交的延長線于點，求的面積．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）△ACH的面積.

【解析】

試題分析：（1）由圓周角定理得出∠DAC=∠CDB，證明△ACD∽△DCE，得出對應邊成比例，即可得出結論；

（2）求出DC=，連接OC、OD，如圖所示：證出BC=DC=，由圓周角定理得出∠ACB=90°，由勾股定理得出AB= =2，得出OB=OC=OD=DC=BC=，證出△OCD、△OBC是正三角形，得出∠COD=∠BOC=∠OBC=60°，求出∠AOD=60°，即可得出結論；

（3）由切線的性質得出OC⊥CH，求出∠H=30°，證出∠H=∠BAC，得出AC=CH=3，求出AH和高，由三角形面積公式即可得出答案．

試題解析：（1）∵C是劣弧 的中點，∴∠DAC=∠CDB，

∵∠ACD=∠DCE，∴△ACD∽△DCE，∴ ，∴DC2=CEAC；

（2）∵AE=2，EC=1，∴AC=3，∴DC2=CEAC=1×3=3，∴DC=，

連接OC、OD，如圖所示：

∵C是劣弧的中點，∴OC平分∠DOB，BC=DC=，

∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°，∴AB==2，

∴OB=OC=OD=DC=BC=，∴△OCD、△OBC是正三角形，∴∠COD=∠BOC=∠OBC=60°，

∴∠AOD=180°﹣2×60°=60°，

∵OA=OD，∴△AOD是正三角形；

（3）∵CH是⊙O的切線，∴OC⊥CH，∵∠COH=60°，∴∠H=30°，

∵∠BAC=90°﹣60°=30°，∴∠H=∠BAC，∴AC=CH=3，

∵AH=3，AH上的高為BCsin60°= ，∴△ACH的面積= ×3×= ．