Question

【題目】如圖，已知AD是△ABC的角平分線，⊙O經過A、B、D三點．過點B作BE∥AD，交⊙O于點E，連接ED。

（1）求證：ED∥AC
（2）若BD=2CD，設△EBD的面積為S1 ， △ADC的面積為S2 ， 且S12﹣16S2+4=0，求△ABC的面積

Answer 1

【答案】
（1）

證明：∵AD是△ABC的角平分線，∴∠BAD=∠DAC，∵∠E=∠BAD，∴∠E=∠DAC，∵BE∥AD，∴∠E=∠EDA，∴∠EDA=∠DAC，∴ED∥AC

（2）

解：∵BE∥AD，∴∠EBD=∠ADC，∵∠E=∠DAC，∴△EBD∽△ADC，且相似比k==2，∴=k2=4，即s1=4s2，∵﹣16S2+4=0，

∴16﹣16S2+4=0，即=0，∴S2=，∵====3，∴S△ABC=

【解析】（1）由AD是△ABC的角平分線，得到∠BAD=∠DAC，由于∠E=∠BAD，等量代換得到∠E=∠DAC，根據平行線的性質和判定即可得到結果；
（2）由BE∥AD，得到∠EBD=∠ADC，由于∠E=∠DAC，得到△EBD∽△ADC，根據相似三角形的性質相似三角形面積的比等于相似比的平方即可得到結果．
【考點精析】掌握圓周角定理和相似三角形的判定與性質是解答本題的根本，需要知道頂點在圓心上的角叫做圓心角;頂點在圓周上，且它的兩邊分別與圓有另一個交點的角叫做圓周角;一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半；相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方．