Question

【題目】 先閱讀下面的材料，再解答下面的問題：如果兩個三角形的形狀相同，則稱這兩個三角形相似．如圖1，△ABC與△DEF形狀相同，則稱△ABC與△DEF相似，記作△ABC∽△DEF．那么，如何說明兩個三角形相似呢？我們可以用“兩角分別相等的三角形相似”加以說明．用數學語言表示為：

如圖1：在△ABC與△DEF中，∵∠A=∠D，∠B=∠E，∴△ABC∽△DEF．

請你利用上述定理解決下面的問題：

（1）下列說法：①有一個角為50°的兩個等腰三角形相似；②有一個角為100°的兩個等腰三角形相似；③有一個銳角相等的兩個直角三角形相似；④兩個等邊三角形相似．其中正確的是______（填序號）；

（2）如圖2，已知AB∥CD，AD與BC相交于點O，試說明△ABO∽△DCO；

（3）如圖3，在平行四邊形ABCD中，E是DC上一點，連接AE．F為AE上一點，且∠BFE=∠C，求證：△ABF∽△EAD．

Answer 1

【答案】（1）②③④；（2）見解析；（3）見解析

【解析】

（1）由于50°的角可作為等腰三角形的頂角，也可以作為底角，由此可判斷①；而100°的角只能作為等腰三角形的頂角，故可判斷②；根據直角三角形的性質可判斷③；根據等邊三角形的性質可判斷④，進而可得答案；

（2）根據平行線的性質和材料提供的方法解答即可；

（3）根據平行四邊形的性質和平行線的性質可得∠BAE=∠AED，∠D+∠C=180°，然后根據已知和補角的性質可得∠D=∠AFB，進而可得結論．

解：（1）①由于50°的角可作為等腰三角形的頂角，也可以作為底角，所以有一個角為50°的兩個等腰三角形不一定相似，所以①錯誤；

②由于100°的角只能作為等腰三角形的頂角，所以有一個角為100°的兩個等腰三角形一定相似，所以②正確；

③有一個銳角相等的兩個直角三角形一定相似，所以③正確；

④兩個等邊三角形一定相似，所以④正確．

故答案為②③④；

（2）∵AB∥CD，∴∠A=∠D，∠B=∠C，

∴△ABO∽△DCO；

（3）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB∥CD，AD∥BC，

∴∠BAE=∠AED，∠D+∠C=180°，

∵∠AFB+∠BFE=180°，∠BFE=∠C，

∴∠D=∠AFB，

∴△ABF∽△EAD．