Question

已知：如圖①，在□ABCD中，AB＝3cm，BC＝5cm．AC⊥AB。△ACD沿AC的方向勻速平移得到

△PNM，速度為1cm/s；同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿CB方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為1cm/s，當(dāng)△PNM停止平移時(shí)，點(diǎn)Q也停止運(yùn)動(dòng)．如圖②，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(s)（0＜t＜4）．解答下列問題：

（1）當(dāng)t為何值時(shí)，PQ∥MN？

（2）設(shè)△QMC的面積為y(cm²)，求y與t之間的函數(shù)關(guān)系式；

（3）是否存在某一時(shí)刻t，使S_△QMC∶S_{四邊形ABQP}＝1∶4？若存在，求出t的值；

     若不存在，請說明理由．

（4）是否存在某一時(shí)刻t，使PQ⊥MQ？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）在Rt△ABC中，由勾股定理得：

    由平移性質(zhì)可得MN∥AB

因?yàn)镻Q∥MN，所以PQ∥AB，所以，即，解得

（2）作PD⊥BC于點(diǎn)D，AE⊥BC于點(diǎn)E

由可得

則由勾股定理易求

因?yàn)镻D⊥BC，AE⊥BC

所以AE∥PD，所以△CPD∽△CAE

所以，即

求得：，

因?yàn)镻M∥BC，所以M到BC的距離

所以，△QCM是面積

（3）因?yàn)镻M∥BC，所以

         若S_△QMC∶S_{四邊形ABQP}＝1∶4，則S_△QMC∶S_△ABC＝1∶5

         即：，整理得：，解得

         答：當(dāng)t=2時(shí)，S_△QMC∶S_{四邊形ABQP}＝1∶4

（4）若，則∠MDQ=∠PDQ=90°

     因?yàn)镸P∥BC，所以∠MPQ=∠PQD，

     所以△MQP∽△PDQ，所以，所以

     即：，由，所以DQ = CD-CQ

     故，整理得

     解得

     答：當(dāng)時(shí)，。