Question

如圖，在△ABC中，∠B=45°，BC=5，高AD=4，矩形EFPQ的一邊QP在BC邊上，E、F分別在AB、AC上，AD交EF于點H．

（1）求證：；
（2）設EF=x，當x為何值時，矩形EFPQ的面積最大？并求出最大面積；
（3）當矩形EFPQ的面積最大時，該矩形EFPQ以每秒1個單位的速度沿射線DA勻速向上運動（當矩形的邊PQ到達A點時停止運動），設運動時間為t秒，矩形EFPQ與△ABC重疊部分的面積為S，求S與t的函數關系式，并寫出t的取值范圍．

Answer 1

解：（1）證明：∵矩形EFPQ，∴EF∥BC。
∴△AHF∽△ADC，∴。
∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴.
∴。
（2）∵∠B=45°，∴BD=AD=4，∴CD=BC﹣BD=5﹣4=1。
∵EF∥BC，∴△AEH∽△ABD，∴。
∵EF∥BC，∴△AFH∽△ACD，∴。
∴，即，∴EH=4HF。
已知EF=x，則EH=。
∵∠B=45°，∴EQ=BQ=BD﹣QD=BD﹣EH=4﹣。
，
∴當x=時，矩形EFPQ的面積最大，最大面積為5。
（3）由（2）可知，當矩形EFPQ的面積最大時，矩形的長為，寬為。
在矩形EFPQ沿射線AD的運動過程中：
（I）當0≤t≤2時，如答圖①所示，

設矩形與AB、AC分別交于點K、N，與AD分別交于點H₁，D₁，此時DD₁=t，H₁D₁=2，
∴HD₁=HD﹣DD₁=2﹣t，HH₁=H₁D₁﹣HD₁=t，AH₁=AH﹣HH₁=2﹣t。
∵KN∥EF，∴，即。
解得。
。
（II）當2＜t≤4時，如答圖②所示，

設矩形與AB、AC分別交于點K、N，與AD交于點D₂．此時DD₂=t，AD₂=AD﹣DD₂=4﹣t。
∵KN∥EF，∴，即。
解得。
。
綜上所述，S與t的函數關系式為：。

（1）由相似三角形，列出比例關系式，即可證明。
（2）首先求出矩形EFPQ面積的表達式，然后利用二次函數求其最大面積。
（3）本問是運動型問題，弄清矩形EFPQ的運動過程：
當0≤t≤2時，如答圖①所示，此時重疊部分是一個矩形和一個梯形；
當2＜t≤4時，如答圖②所示，此時重疊部分是一個三角形。