Question

【題目】(1)如圖，在在△ABC中，已知∠BAC=900，AB=AC,點D在BC上，且BD=BA，點E在BC的延長線上，CE=CA，求∠DAE的度數；

(2)如果把（1）中的“AB=AC”條件去掉，其余條件不變，那么∠DAE的度數改變嗎？為什么？

(3)如果把（1）中的“∠BAC=900”改成“∠BAC>900”其余條件不變，試探究∠DAE與∠BAC的數量關系式，試證明.

Answer 1

【答案】（1）450；（2）不改變；（3）∠DAE=∠BAC.

【解析】

（1）要求∠DAE，必先求∠BAD和∠CAE，由∠BAC=90°，AB=AC，可求∠B=∠ACB=45°，又因為BD=BA，可求∠BAD=∠BDA=67.5°，再由CE=CA，可求∠CAE=∠E=22.5°，所以∠DAE=∠BAE-∠BAD=112.5°-67.5°=45°；
（2）先設∠CAE=x，由已知CA=CE可求∠ACB=∠CAE+∠E=2x，∠B=90°-2x，又因為BD=BA，所以∠BAD=∠BDA=x+45°，再根據三角形的內角和是180°，可求∠BAE=90°+x，即∠DAE=∠BAE-∠BAD=（90°+x）-（x+45°）=45度；
（3）可設∠CAE=x，∠BAD=y，則∠B=180°-2y，∠E=∠CAE=x，所以∠BAE=180°-∠B-∠E=2y-x，∠BAC=∠BAE-∠CAE=2y-x-x=2y-2x，即∠DAE=∠BAC．

(1)∵AB=AC,∠BAC=，

∴∠B=∠ACB=，

∵BD=BA，

∴∠BAD=∠BDA=(180∠B)=

∵CE=CA，

∴∠CAE=∠E=∠ACB=，

在△ABE中,∠BAE=180∠B∠E=，

∴∠DAE=∠BAE∠BAD==；

(2)不改變.

設∠CAE=x，

∵CA=CE，

∴∠E=∠CAE=x，

∴∠ACB=∠CAE+∠E=2x，

在△ABC中,∠BAC=，

∴∠B=∠ACB=2x，

∵BD=BA，

∴∠BAD=∠BDA= (180∠B)=x+，

在△ABE中,∠BAE=∠B∠E,=(2x)x=+x，

∴∠DAE=∠BAE∠BAD,=(+x)(x+)=；

(3)∠DAE=∠BAC.

理由：設∠CAE=x，∠BAD=y，

則∠B=2y，∠E=∠CAE=x，

∴∠BAE=∠B∠E=2yx，

∴∠DAE=∠BAE∠BAD=2yxy=yx，

∠BAC=∠BAE∠CAE=2yxx=2y2x，

∴∠DAE=∠BAC.