Question

（1）操作發現：

如圖，矩形ABCD中，E是AD的中點，將△ABE沿BE折疊后得到△GBE，且點在G矩形ABCD內部．小明將BG延長交DC于點F，認為GF=DF，你同意嗎？說明理由．
（2）問題解決:保持（1）中的條件不變，若DC=2DF，求值．
（3）類比探究: 保持（1）中的條件不變，若DC=n.DF，求的值（直接寫出答案）

Answer 1

（1）同意；（2）；（3）

試題分析：（1）求簡單的線段相等，可證線段所在的三角形全等，即連接EF，證△EGF≌△EDF即可；
（2）可設DF=x，BC=y；進而可用x表示出DC、AB的長，根據折疊的性質知AB=BG，即可得到BG的表達式，由（1）證得GF=DF，那么GF=x，由此可求出BF的表達式，進而可在Rt△BFC中，根據勾股定理求出x、y的比例關系，即可得到的值；
（3）方法同（2）．
（1）連接EF，

根據翻折不變性得∠EGF=∠D=90°，EG=AE=ED，EF=EF，
∴Rt△EGF≌Rt△EDF，
∴GF=DF；
（2）設DF=x，BC=y，則有GF=x，AD=y
∵DC=2DF，
∴CF=x，DC=AB=BG=2x，
∴BF=BG+GF=3x；
在Rt△BCF中，BC+CF=BF，即y+x=（3x）
∴y=，

（3）由（1）知，GF=DF，設DF=x，BC=y，則有GF=x，AD=y
∵DC=n•DF，
∴BF=BG+GF=（n+1）x
在Rt△BCF中，BC+CF=BF，即y+[（n-1）x]=[（n+1）x]，
∴y=

點評：此類問題綜合性強，難度較大，在中考中比較常見，一般作為壓軸題，題目比較典型．