Question

如圖，在□ABCD中，∠ABD的平分線BE交AD于點E，∠CDB的平分線DF交BC于點F，連接BD．

（1）求證：△ABE≌△CDF；
（2）若AB＝DB，求證：四邊形DFBE是矩形．

Answer 1

（1）根據平行四邊形的性質可得AB=CD，∠A=∠C，CD∥AB，即得∠CDB=∠DBA，根據角平分線的性質可得∠ABE=∠EBD=∠ABD，∠CDF=∠BDF=∠CDB，即可證得結論；
（2）先根據等腰三角形三線合一的性質證得BE⊥AD，由△ABE≌△CDF可得AE=CF，再結合平行四邊形的性質可得DE=BF，從而證得結論.

試題分析：（1）在□ABCD中，AB=CD，∠A=∠C
∵CD∥AB
∴∠CDB=∠DBA
∵BE平分∠ABD
∴∠ABE=∠EBD=∠ABD
同理∠CDF=∠BDF=∠CDB
∴∠ABE=∠CDF
∴△ABE≌△CDF；
（2）∵AB=DB，BE平分∠ABD
∴BE⊥AD
∴∠BED=90°
∵△ABE≌△CDF
∴AE="CF"
在□ABCD中，AD=BC，
∴AD-AE=BC-CF
∴DE=BF，AD∥BC
∴四邊形DFBE是矩形．
點評：平行四邊形的判定和性質是初中數學的重點，貫穿于整個初中數學的學習，是中考常見題，一般難度不大，需熟練掌握.