Question

【題目】已知，在平面直角坐標系xOy中，拋物線L：y=x2-4x+3與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側），頂點為C．

（1）求點C和點A的坐標．

（2）定義“L雙拋圖形”：直線x=t將拋物線L分成兩部分，首先去掉其不含頂點的部分，然后作出拋物線剩余部分關于直線x=t的對稱圖形，得到的整個圖形稱為拋物線L關于直線x=t的“L雙拋圖形”（特別地，當直線x=t恰好是拋物線的對稱軸時，得到的“L雙拋圖形”不變），

①當t=0時，拋物線L關于直找x=0的“L雙拋圖形”如圖所示，直線y=3與“L雙拋圖形”有______個交點；

②若拋物線L關于直線x=t的“L雙拋圖形”與直線y=3恰好有兩個交點，結合圖象，直接寫出t的取值范圍：______；

③當直線x=t經過點A時，“L雙拋圖形”如圖所示，現將線段AC所在直線沿水平（x軸）方向左右平移，交“L雙拋圖形”于點P，交x軸于點Q，滿足PQ=AC時，求點P的坐標．

Answer 1

【答案】（1）C（2，-1），A（1，0）；（2）①3，②0＜t＜4，③（+2，1）或（-+2，1）或（-1，0）

【解析】

（1）令y=0得：x2-4x+3=0，然后求得方程的解，從而可得到A、B的坐標，然后再求得拋物線的對稱軸為x=2，最后將x=2代入可求得點C的縱坐標；

（2）①拋物線與y軸交點坐標為（0，3），然后做出直線y=3，然后找出交點個數即可；②將y=3代入拋物線的解析式求得對應的x的值，從而可得到直線y=3與“L雙拋圖形”恰好有3個交點時t的取值，然后結合函數圖象可得到“L雙拋圖形”與直線y=3恰好有兩個交點時t的取值范圍；③首先證明四邊形ACQP為平行四邊形，由可得到點P的縱坐標為1，然后由函數解析式可求得點P的橫坐標．

（1）令y=0得：x2-4x+3=0，解得：x=1或x=3，

∴A（1，0），B（3，0），

∴拋物線的對稱軸為x=2，

將x=2代入拋物線的解析式得：y=-1，

∴C（2，-1）；

（2）①將x=0代入拋物線的解析式得：y=3，

∴拋物線與y軸交點坐標為（0，3），

如圖所示：作直線y=3，

由圖象可知：直線y=3與“L雙拋圖形”有3個交點，

故答案為：3；

②將y=3代入得：x2-4x+3=3，解得：x=0或x=4，

由函數圖象可知：當0＜t＜4時，拋物線L關于直線x=t的“L雙拋圖形”與直線y=3恰好有兩個交點，

故答案為：0＜t＜4．

③如圖2所示：

∵PQ∥AC且PQ=AC，

∴四邊形ACQP為平行四邊形，

又∵點C的縱坐標為-1，

∴點P的縱坐標為1，

將y=1代入拋物線的解析式得：x2-4x+3=1，解得：x=+2或x=-+2．

∴點P的坐標為（+2，1）或（-+2，1），

當點P（-1，0）時，也滿足條件．

綜上所述，滿足條件的點（+2，1）或（-+2，1）或（-1，0）