Question

【題目】如圖，直線11∥l2，⊙O與11和l2分別相切于點A和點B．點M和點N分別是l1和l2上的動點，MN沿l1和l2平移．⊙O的半徑為1，∠1=60°．

（1）當MN與⊙O相切時，求AM的長；

（2）當∠MON為多少度時，MN與⊙O相切，并給出證明．

Answer 1

【答案】（1）AM的長為或；（2）當∠MON=90°時，MN與⊙O相切；證明見解析.

【解析】

（1）連結OM，ON，當MN在AB左側時，根據切線長定理得∠AMO∠AMN=30°．在Rt△AMO中，利用正切的定義可計算出AM．當MN在AB右側時，同理可得：AM'；

（2）當∠MON=90°時，MN與⊙O相切，作OE⊥MN于E，延長NO交l1于F，易證得Rt△OAF≌Rt△OBN，則OF=ON，于是可判斷MO垂直平分NF，所以OM平分∠NMF，根據角平分線的性質得OE=OA，然后根據切線的判定定理得到MN為⊙O的切線．

（1）當MN與⊙O相切，如圖，連結OM，ON，分兩種情況討論：

①當MN在AB左側時，∠AMO∠AMN60°=30°．在Rt△AMO中，tan∠AMO，即AM；

②當MN在AB右側時，∠AM'O∠AM'N（180°－60°）=60°．在Rt△AM'O中，tan∠AM'O，即AM'．

綜上所述：AM的長為或；

（2）當∠MON=90°時，MN與⊙O相切．證明如下：

作OE⊥MN于E，延長NO交l1于F，如圖，∵⊙O與11和l2分別相切于點A和點B，∴∠OAF=∠OBN=90°．

∵直線11∥l2，∴A、O、B共線．

在△OAF和△OBN中，∵，∴△OAF≌△OBN（AAS），∴OF=ON，∴MO垂直平分NF，∴OM平分∠NMF，∴OE=OA，∴MN為⊙O的切線．