Question

【題目】如圖，在△ABC中，AD是高，BD＝6，CD＝4，tan∠BAD＝，P是線段AD上一動點，一機器人從點A出發沿AD以個單位/秒的速度走到P點，然后以1個單位/秒的速度沿PC走到C點，共用了t秒，則t的最小值為_____．

Answer 1

【答案】8

【解析】

作PH⊥AB于H，根據銳角三角函數求得AD=8，根據勾股定理求得AB=10，設機器從A運動到P點用x秒，則從P點運動到C用了(t﹣x)秒，當點C、P、H共線時，PC+PH的值最小，即t的值最小，可求得t的最小值.

解：作PH⊥AB于H，如圖，

∵AD是高，

∴∠ADB＝∠ADC＝90°，

∵tan∠BAD＝＝，

∴AD＝×6＝8，

∴AB＝＝10，

設機器從A運動到P點用x秒，則從P點運動到C用了(t﹣x)秒，

∴AP＝x，PC＝t﹣x，

在Rt△ABD中，sin∠BAD＝＝＝，

在Rt△APH中，sin∠PAH＝＝，

∴PH＝x＝x，

∴PC+PH＝x+t﹣x＝t，

而點C、P、H共線時，PC+PH的值最小，即t的值最小，

此時CH⊥AB，

在Rt△ABD中，sinB＝＝＝，

在Rt△BCH中，∴sin∠B＝＝，

∴CH＝×(4+6)＝8，

即t的最小值為8．

故答案為8．