Question

如圖，以△ABC的三邊為邊，在BC的同側作三個等邊△ABD、△BEC、△ACF．

（1）判斷四邊形ADEF的形狀，并證明你的結論；
（2）當△ABC滿足什么條件時，四邊形ADEF是菱形？是矩形？

Answer 1

（1）由題意易得△BDE≌△BAC，則可得DE=AC=AF，同理可證EF=AB=AD，即可證得結論；（2）AB=AC時為菱形，∠BAC=150º時為矩形.

試題分析：（1）由題意易得△BDE≌△BAC，則可得DE=AC=AF，同理可證EF=AB=AD，即可證得結論；
（2）AB=AC時，可得ADEF的鄰邊相等，所以ADEF為菱形，AEDF要是矩形，則∠DEF=90°，由∠DEF=∠BED+∠BEC+∠CEF，可推出∠BAC=150°時為矩形．
解：（1）四邊形ADEF為平行四邊形，
∵△ABD和△EBC都是等邊三角形，
∴BD=AB，BE=BC；
∵∠DBA=∠EBC=60°，
∴∠DBA-∠EBA=∠EBC-∠EBA
∴∠DBE=∠ABC；
∴△BDE≌△BAC
∴DE=AC=AF
同理可證：△ECF≌△BCA，
∴EF=AB=AD
∴ADEF為平行四邊形；
（2）AB=AC時，?ADEF為菱形，當∠BAC=150°時?ADEF為矩形．
理由是：∵AB=AC，
∴AD=AF．
∴?ADEF是菱形．
∴∠DEF=90°
=∠BED+∠BEC+∠CEF
=∠BCA+60°+∠CBA
=180-∠BAC+60°
=240°-∠BAC，
∴∠BAC=150°，
∵∠DAB=∠FAC=60°，
∴∠DAF=90°，
∴平行四邊形ADEF是矩形．
點評：特殊四邊形的判定和性質是初中數學的重點，貫穿于整個初中數學的學習，是中考中比較常見的知識點，一般難度不大，需熟練掌握.