Question

【題目】如果兩個(gè)角之差的絕對(duì)值等于45°，則稱這兩個(gè)角互為“半余角”，即若|∠α－∠β |＝45°，則稱∠α、∠β互為半余角．（注：本題中的角是指大于0°且小于180°的角）

（1）若∠A＝80°，則∠A的半余角的度數(shù)為　　；

（2）如圖1，將一長(zhǎng)方形紙片ABCD沿著MN折疊（點(diǎn)M在線段AD上，點(diǎn)N在線段CD上）使點(diǎn)D落在點(diǎn)D′處，若∠AMD′與∠DMN互為“半余角”，求∠DMN的度數(shù)；

（3）在（2）的條件下，再將紙片沿著PM折疊（點(diǎn)P在線段BC上），點(diǎn)A、B分別落在點(diǎn)A′、B′處，如圖2．若∠AMP比∠DMN大5°，求∠A′MD′的度數(shù)．

Answer 1

【答案】（1）35°或125°；（2）45°或75°；（3）10°或130°.

【解析】

（1）設(shè)∠A的半余角的度數(shù)為x°，根據(jù)半余角的定義列方程求解即可；

（2）設(shè)∠DMN為x°.根據(jù)折疊的性質(zhì)和半余角的定義解答即可；

（3）分兩種情況討論：①當(dāng)∠DMN=45°時(shí)，∠DMD'=90°，∠AMP=50°，∠DMA'=80°，根據(jù)∠A′MD′=∠DMD'-∠DMA'計(jì)算即可.

②當(dāng)∠DMN=75°時(shí)，∠DMD'=150°，∠AMP=80°，∠DMA'=20°，根據(jù)∠A′MD′=∠DMD'-∠DMA'計(jì)算即可.

（1）設(shè)∠A的半余角的度數(shù)為x°，根據(jù)題意得：

|80°-x|=45°

80°-x=±45°

∴x=80°±45°，

∴x=35°或125°.

（2）設(shè)∠DMN為x°，根據(jù)折疊的性質(zhì)得到∠D'MN=∠DMN=x°.

∴∠AMD'=180°－2x.

∵∠AMD′與∠DMN互為“半余角”，

∴|180°－2x－x|=45°，

∴|180°－3x|=45°，

∴180°－3x=45°或180°－3x=－45°，

解得：x=45°或x=75°.

（3）分兩種情況討論：①當(dāng)∠DMN=45°時(shí)，∠D'MN=45°，

∴∠DMD'=90°，∠AMP=∠A'MP=45°+5°=50°，

∴∠DMA'=180°-2∠AMP=80°，

∴∠A′MD′=∠DMD'-∠DMA'=90°-80°=10°.

②當(dāng)∠DMN=75°時(shí)，∠D'MN=75°，

∴∠DMD'=150°，∠AMP=∠A'MP=75°+5°=80°，

∴∠DMA'=180°-2∠AMP=20°，

∴∠A′MD′=∠DMD'-∠DMA'=150°-20°=130°.

綜上所述：∠A′MD′的度數(shù)為10°或130°.