Question

【題目】如圖，在△ABF中,以AB為直徑的圓分別交邊AF、BF于C、E兩點，CD⊥AF．AC是∠DAB的平分線，

(1)求證：直線CD是⊙O的切線．

(2)求證：△FEC是等腰三角形

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.

【解析】試題分析：（1）先判斷出∠FAC=∠ACO，進而得出AF∥CO，即可得出結論；

（2）先用等腰三角形的三線合一得出AF=AB．再用同角的補角相等得出∠FEC=∠B 即可得出結論．

試題解析：（1）連接OC，則∠CAO=∠ACO，

又∠FAC=∠CAO

∴∠FAC=∠ACO，

∴AF∥CO，

而CD⊥AF，

∴CO⊥CD，

即直線CD是⊙O的切線；

（2）∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ACB=90°

又∠FAC=∠CAO

∴AF=AB（三線合一），

∴∠F=∠B，

∵四邊形EABC是⊙O的內接四邊形，

∵∠FEC+∠AEC=180°，∠B+∠AEC=180°

∴∠FEC=∠B

∴∠F=∠FEC，

即EC=FC

所以△FEC是等腰三角形．